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第一章 基本的代数与数值概念 1

1.1 什么是矩阵 1

1.2 矩阵方程 1

1.3 矩阵乘法 2

1.4 某些特殊的矩阵 4

1.5 矩阵的转置和对称性 5

1.6 矩阵的行列式 6

1.7 线性方程组的求解 7

1.8 高斯消去法和主元消去法 7

1.9 多重右端项的方程组 9

1.10 矩阵方程的变换 11

1.11 矩阵的秩 12

1.12 矩阵的逆 13

1.13 逆的意义 14

1.14 矩阵表达式的转置和逆 15

1.15 矩阵的分块 16

1.16 矩阵的特征值 18

1.17 特征值的性质 19

1.18 特征向量 21

1.19 范数和正规化 22

1.20 对称矩阵特征向量的正交性条件 23

1.21 二次型和正定矩阵 24

1.22 Gerschgorin盘 26

参考文献 28

第二章 某些矩阵问题 29

2.1 电阻网络 29

2.2 网络方程的替换形式 30

2.3 电阻网络方程组的性质 32

2.4 其它网络问题 35

2.5 超定方程组的最小二乘法 36

2.6 测量中的平差 37

2.7 曲线拟合 39

2.8 热传导场问题 41

2.9 有限差分法 42

2.10 有限元法 44

2.11 源和汇方法 47

2.12 用Newton-Raphson法分析非线性电缆问题 47

参考文献 51

第三章 存储方案和矩阵乘法 52

3.1 计算机中的数值计算 52

3.2 舍入误差 54

3.3 矩阵的数组形式存储 56

3.4 用二维数组计算矩阵乘法 57

3.5 程序的效率 59

3.6 一维存储的矩阵运算 60

3.7 外存的使用 61

3.8 稀疏存储 62

3.9 二进制标识法 62

3.10 随机填充存储法 63

3.11 地址链的使用 64

3.12 系统填充存储法 65

3.13 稀疏填充存储方案的注意事项 66

3.14 系统填充存储的矩阵运算 67

3.15 稀疏矩阵的串联存储 70

3.16 规则型存储方案 71

3.17 变带宽存储 72

3.18 子矩阵存贮方案 73

参考文献 74

第四章 线性方程组的消去法 75

4.1 高斯消去法的实现 75

4.2 高斯消去法和三角形分解的等价性 77

4.3 三角形分解的实现 78

4.4 对称分解 79

4.5 三角形分解的应用 80

4.6 不必采用主元选择的情况 82

4.7 主元选择 84

4.8 行和列变换 86

4.9 消去时精度的损失 87

4.10 关于主元选择 88

4.11 病态 89

4.12 实际病态情况 91

4.13 剩余和迭代改进 92

4.14 对称矩阵的双主元选择 94

4.15 带有已定变量的方程组 97

4.16 具有奇异系数矩阵的方程组 98

4.17 变形方程组的求解 99

4.18 正交分解法 103

4.19 最小二乘方程组的正交分解法 104

参考文献 106

第五章 稀疏矩阵消去法 108

5.1 在消去过程中稀疏型式的变化 108

5.2 稀疏消去法的图的解释 109

5.3 对角带消去法 112

5.4 变带宽消去算法 114

5.5 关于变带宽算法的应用 116

5.6 自动波前编序方案 118

5.7 在填充存储中的消去法 122

5.8 利用子矩阵的消去法 124

5.9 子结构法 125

5.10 关于外存的利用 128

5.11 非对称带消去法 131

5.12 在填充存储中的非对称消去法 132

参考文献 133

第六章 线性方程组的迭代法 135

6.1 Jacobi和Gauss-Seidel迭代法 135

6.2 松弛技术 137

6.3 迭代法的一般特性 139

6.4 迭代矩阵 140

6.5 系数矩阵对称正定时的收敛性 142

6.6 具有性质A的矩阵 144

6.7 松弛因子的选择 148

6.8 双扫法和子处理法 148

6.9 块松弛法 150

6.10 SLOR，ADIP和SIP法 152

6.11 切比雪夫加速法 153

6.12 动态加速法 156

6.13 梯度法 158

6.14 关于梯度法的收敛性 160

6.15 共轭梯度法的应用 162

参考文献 164

第七章 某些矩阵特征值问题 166

7.1 杆的弯曲 166

7.2 结构的振动 167

7.3 线性化特征值问题 169

7.4 线性化特征值问题的某些性质 170

7.5 阻尼振动 172

7.6 动力稳定性 173

7.7 将二次特征值问题化为标准形式 173

7.8 主分量分析 174

7.9 主分量分析的几何解释 177

7.10 马尔可夫链 179

7.11 马尔可夫链用于确定计算机的运行状态 180

7.12 随机矩阵的特征值性质 181

参考文献 184

8.2 Jacobi对角化法 185

第八章 特征值问题的变换法 185

8.1 矩阵的正交变换 185

8.3 Jacobi法在计算机上的实现 188

8.4 Givens三对角化法 189

8.5 Householder变换法 190

8.6 Householder三对角化法的实际计算方法 191

8.7 对称带状矩阵的变换 193

8.8 非对称矩阵的特征值性质 194

8.9 相似变换 196

8.10 化为上Hessenberg形 197

8.11 LR变换法 199

8.12 LR法的收敛性 201

8.13 QR变换法 202

8.14 QR法中的原点移位 203

8.15 关于QR法的讨论 204

8.16 变换法的应用 205

参考文献 206

第九章 Sturm序列法 207

9.1 特征方程 207

9.2 Sturm序列性质 207

9.3 求三对角矩阵特征值的对分法 209

9.4 三对角阵的对分法的讨论 210

9.5 一般对称矩阵的对分法 211

9.6 带状矩阵的对分法 212

9.7 非线性对称特征值问题 213

参考文献 214

第十章 特征值的向量迭代法 215

10.1 幂法 215

10.2 幂法的收敛特性 216

10.3 特征值移位法和逆迭代法 219

10.4 用净化法求次特征值 221

10.5 用压缩法求次特征值 223

10.6 联立迭代法 224

10.7 联立迭代法的收敛性和效率 226

10.8 对称矩阵的联立迭代法 228

10.9 非对称矩阵的联立迭代法 232

10.10 振动频率分析的联立迭代法 233

10.11 改善效率的联立迭代法 235

10.12 Lanczos方法 236

参考文献 238

附录 241