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第1章 函数与极限 1

1.1函数 1

1.1.1区间 邻域 1

1.1.2函数的概念 2

1.1.3函数的几种特性 4

1.1.4反函数与复合函数 7

1.1.5初等函数 8

习题1.1 8

1.2极限 10

1.2.1数列的极限 11

1.2.2函数的极限 15

习题1.2 22

1.3无穷小量与无穷大量 22

1.3.1无穷小量 22

1.3.2无穷大量 23

1.3.3无穷小量的运算性质 25

习题1.3 26

1.4极限的运算法则 27

1.4.1极限的四则运算法则 27

1.4.2复合函数的极限运算法则 31

习题1.4 31

1.5极限存在准则 两个重要极限 32

1.5.1极限存在准则 32

1.5.2两个重要极限 33

习题1.5 38

1.6无穷小量阶的比较 39

习题1.6 42

1.7函数的连续性 43

1.7.1函数连续性的概念 43

1.7.2函数的间断点 45

1.7.3连续函数的运算与初等函数的连续性 47

习题1.7 49

1.8闭区间上连续函数的性质 50

习题1.8 52

本章小结 52

总习题一 53

第2章 导数与微分 57

2.1导数的概念 57

2.1.1引例 57

2.1.2导数的定义 58

2.1.3求导数举例 59

2.1.4左导数与右导数 61

2.1.5导数的几何意义 61

2.1.6可导与连续的关系 62

习题2.1 62

2.2导数的运算法则 63

2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则 63

2.2.2反函数的导数 65

2.2.3复合函数的求导法则 66

2.2.4初等函数的导数公式 68

习题2.2 69

2.3高阶导数 70

2.3.1高阶导数的概念 70

2.3.2高阶导数的运算法则 72

习题2.3 73

2.4隐函数的导数 由参数方程确定的函数的导数 73

2.4.1隐函数的导数 73

2.4.2对数求导法 76

2.4.3由参数方程确定的函数的导数 77

2.4.4相关变化率 79

习题2.4 80

2.5函数的微分 81

2.5.1微分的定义 81

2.5.2微分的几何意义 83

2.5.3微分公式与运算法则 84

2.5.4微分在近似计算中的应用 86

2.5.5误差估计 88

习题2.5 89

本章小结 90

总习题二 92

第3章 微分中值定理与导数的应用 95

3.1微分中值定理 95

3.1.1费马（Fermat）引理 95

3.1.2罗尔（Rolle）定理 95

3.1.3拉格朗日（Lagrange）中值定理 96

3.1.4柯西（Cauchy）中值定理 99

习题3.1 100

3.2洛必达法则 100

3.2.1 0/0型未定式 100

3.2.2 ∞/∞型未定式 103

3.2.3其他类型的未定式 103

习题3.2 105

3.3泰勒公式 105

习题3.3 111

3.4函数的单调性与极值 111

3.4.1函数单调性的判定方法 111

3.4.2函数的极值及判定 113

3.4.3函数的最大值、最小值及其应用 117

习题3.4 119

3.5曲线的凹凸性与拐点 120

习题3.5 124

3.6函数图像的描绘 124

3.6.1曲线的渐近线 124

3.6.2函数图像的描绘 125

习题3.6 127

3.7曲率及其计算 128

3.7.1弧微分 128

3.7.2曲率及其计算 129

3.7.3曲率圆与曲率半径 131

习题3.7 132

3.8方程的近似解 132

3.8.1二分法 133

3.8.2切线法 134

习题3.8 135

本章小结 136

总习题三 137

第4章 不定积分 140

4.1不定积分的概念与性质 140

4.1.1原函数 140

4.1.2不定积分 141

4.1.3基本积分公式表 142

4.1.4不定积分的性质 143

习题4.1 144

4.2换元积分法 145

4.2.1第一类换元法 146

4.2.2第二类换元法 148

习题4.2 153

4.3分部积分法 154

习题4.3 157

4.4几种特殊函数的积分 158

4.4.1有理函数的积分 158

4.4.2三角函数有理式的积分 160

4.4.3简单无理函数的积分 162

习题4.4 164

本章小结 165

总习题四 166

第5章 定积分及其应用 168

5.1定积分的概念与性质 168

5.1.1定积分的问题引例 168

5.1.2定积分的定义 171

5.1.3定积分的几何意义 172

5.1.4定积分的性质 174

习题5.1 178

5.2微积分基本公式 179

5.2.1变上限积分函数及其性质 179

5.2.2牛顿-莱布尼茨公式 181

习题5.2 183

5.3定积分换元积分法与分部积分法 185

5.3.1定积分的换元积分法 185

5.3.2定积分的分部积分法 189

5.3.3定积分的近似计算 191

习题5.3 195

5.4反常积分 197

5.4.1无穷区间的反常积分 197

5.4.2无界函数的反常积分 198

5.4.3 Γ函数与β函数 201

习题5.4 204

5.5定积分的应用 205

5.5.1定积分的元素法 205

5.5.2定积分在几何上的应用 207

5.5.3定积分在物理上的应用 216

习题5.5 220

本章小结 220

总习题五 221

第6章 微分方程 224

6.1微分方程的基本概念 224

6.1.1引例 224

6.1.2微分方程的基本概念 226

习题6.1 228

6.2可分离变量的微分方程及变量变换 229

6.2.1可分离变量的微分方程 229

6.2.2可化为分离变量的微分方程 232

习题6.2 238

6.3一阶线性微分方程 239

习题6.3 243

6.4可降阶的高阶微分方程 244

6.4.1形如y（n）=f（x）的微分方程 244

6.4.2形如y"=f（x，y’）的微分方程 245

6.4.3形如y"=（y， y’）的微分方程 246

习题 6.4 249

6.5二阶线性微分方程解的结构 249

6.5.1二阶齐次线性微分方程解的结构 250

6.5.2二阶非齐次线性微分方程解的结构 251

习题6.5 252

6.6二阶常系数线性微分方程的解法 253

6.6.1二阶常系数齐次线性微分方程 253

6.6.2二阶常系数非齐次线性微分方程 257

6.6.3欧拉方程 261

习题6.6 263

本章小结 263

总习题六 264

附录Ⅰ高等数学中几种常用曲线 267

附录Ⅱ常用积分公式 270

附录Ⅲ中学数学基础知识 281

习题答案与提示 287