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第〇章 预备知识 1

0-1 实数 1

0-2 集合 2

0-3 函数 3

第一章 实数向量空间 7

1-0 向量空间的概念 7

1-1 定义和例题 10

1-2 子空间 25

1-3 生成集合 32

1-4 线性独立 39

1-5 基底与坐标 47

1-6 关于基底的定理 54

第二章 线性变换 65

2-1 线性变换的概念 65

2-2 值域及零空间 65

2-3 同构 87

第三章 矩阵 93

3-0 矩阵在线性代数的一般体系中 93

3-1 矩阵的符号及代数运算 94

3-2 （选读）矩阵的乘积及在晶体结构中的随机游动 107

3-3 基本列运算、基本矩阵及列对等 133

3-4 矩阵的简化型式 121

3-5 列空间与行空间及一矩阵的秩 130

3-6 逆矩阵：存在与唯一 137

3-7 矩阵之反矩阵的計算 141

3-8 基本矩阵与非奇异矩阵之间的关係 145

第四章 矩阵与线性变换 153

4-1 线性变换的代表矩阵 153

4-2 合成线性变换的矩阵 165

4-3 由矩阵所定义之线性变换 168

4-4 介于值域、秩及核空间之间的关係 172

4-5 线性联立方程组：齐次式的情況 178

4-6 非齐次线性联立方程組 194

第五章 行列式 219

5-1 定义及基本性质 219

5-2 计算行列式的一方法 229

5-3 （选读）联立方程組的行列式解：克拉模法则 224

第六章 固有值及固有向量 249

6-1 矩阵的固有值及固有向量 249

6-2 固有值及固有向量在計算上的情況 256

6-3 （选读）固有值之数值的近似值 259

6-4 （选读）线性变换的固有值及固有向量 266

6-5 对角化 272

6-6 （选读）对角化的進一步探討 282

第七章 内积空间 289

7-1 定义及基本性質 289

7-2 直交集合及基本基底 302

7-3 实数对称矩阵的固有值与固有向量 310

7-4 直交矩阵与实数对称矩阵的对角化 315

7-5 （选读）直交矩阵在实数二次式上的应用 320

附录 331

Ⅰ 复数 331

Ⅱ 数学归纳法与矛盾证明 333

奇数計算题解答 337

历年研究所考题 365

历年高考试题 414