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第1章 绪论 1

1.1 数值计算方法的研究对象和特点 1

1.2 数值计算的误差 2

1.2.1 误差的来源 2

1.2.2 误差与有效数字 3

1.2.3 函数求值的误差估计 4

1.2.4 计算机中数的表示 6

1.3 数值稳定性和要注意的若干原则 6

1.3.1 数值方法的稳定性 6

1.3.2 避免有效数字的损失 8

1.3.3 减少运算次数 9

1.4 向量和矩阵的范数 10

1.4.1 向量的范数 10

1.4.2 矩阵的范数 13

评注 17

习题1 17

数值试验题1 19

第2章 插值法 21

2.1 Lagrange插值多项式 21

2.1.1 多项式插值问题 21

2.1.2 Lagrange插值多项式 22

2.1.3 插值余项 23

2.2 逐次线性插值法 25

2.2.1 逐次线性插值思想 25

2.2.2 Aitken算法 27

2.3 Newton插值多项式 28

2.3.1 均差及其性质 28

2.3.2 Newton插值公式 30

2.3.3 差分和等距节点插值公式 32

2.4 Hermite插值多项式 36

2.5 分段低次插值 38

2.5.1 多项式插值的问题 38

2.5.2 分段线性插值 39

2.5.3 分段3次Hermite插值 41

2.6 3次样条插值 42

2.6.1 3次样条插值函数的概念 42

2.6.2 三弯矩算法 43

2.6.3 三转角算法 46

2.6.4 3次样条插值函数的误差估计 49

评注 49

习题2 50

数值试验题2 52

第3章 函数的最佳逼近 53

3.1 正交多项式 53

3.1.1 离散点集上的正交多项式 53

3.1.2 连续区间上的正交多项式 54

3.2 连续函数的最佳逼近 58

3.2.1 连续函数的最佳平方逼近 58

3.2.2 连续函数的最佳一致逼近 61

3.3 离散数据的曲线拟合 63

3.3.1 最小二乘拟合 63

3.3.2 多项式拟合 64

3.3.3 正交多项式拟合 67

评注 69

习题3 70

数值试验题3 71

第4章 数值积分和数值微分 72

4.1 Newton-Cotes求积公式 73

4.1.1 插值型求积法 73

4.1.2 Newton-Cotes求积公式 74

4.1.3 Newton-Cotes公式的误差分析 76

4.2 复化求积公式 78

4.2.1 复化梯形求积公式 79

4.2.2 复化Simpson求积公式 80

4.2.3 变步长求积法 82

4.3 外推原理与Romberg求积法 84

4.3.1 外推原理 84

4.3.2 Romberg求积法 85

4.4 Gauss求积公式 87

4.4.1 Gauss求积公式的基本理论 87

4.4.2 常用Gauss求积公式 90

4.4.3 Gauss求积公式的余项与稳定性 93

4.5 数值微分 94

4.5.1 插值型求导公式 95

4.5.2 3次样条求导 96

4.5.3 数值微分的外推算法 97

评注 98

习题4 99

数值试验题4 100

第5章 线性方程组的直接解法 102

5.1 Gauss消去法 102

5.1.1 Gauss消去法的计算过程 102

5.1.2 矩阵的三角分解 105

5.1.3 主元素消去法 108

5.1.4 Gauss-Jordan消去法 111

5.2 直接三角分解方法 113

5.2.1 一般矩阵的直接三角分解法 113

5.2.2 三对角方程组的追赶法 117

5.2.3 平方根法 119

5.3 方程组的性态与误差估计 121

5.3.1 矩阵的条件数 121

5.3.2 方程组解的误差估计 124

评注 126

习题5 127

数值试验题5 129

第6章 线性方程组的迭代解法 131

6.1 基本迭代方法 131

6.1.1 迭代公式的构造 131

6.1.2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 132

6.2 迭代法的收敛性 134

6.2.1 一般迭代法的收敛性 134

6.2.2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性 138

6.3 超松弛迭代法 141

6.4 分块迭代法 144

评注 145

习题6 145

数值试验题6 147

第7章 非线性方程和方程组的数值解法 149

7.1 方程求根的二分法 149

7.2 一元方程的不动点迭代法 151

7.2.1 不动点迭代法及其收敛性 151

7.2.2 局部收敛性和加速收敛法 155

7.3 一元方程的常用迭代法 159

7.3.1 Newton迭代法 159

7.3.2 割线法与抛物线法 161

7.4 非线性方程组的数值解法 164

7.4.1 非线性方程组的不动点迭代法 164

7.4.2 非线性方程组的Newton法 168

7.4.3 非线性方程组的拟Newton法 170

评注 173

习题7 173

数值试验题7 175

第8章 矩阵特征值问题的数值解法 177

8.1 特征值问题的性质与估计 177

8.2 幂法和反幂法 178

8.2.1 幂法和加速方法 178

8.2.2 反幂法和原点位移 181

8.3 Jacobi方法 184

8.4 QR算法 188

8.4.1 化矩阵为Hessenberg形 188

8.4.2 QR算法及其收敛性 192

8.4.3 带原点位移的QR算法 196

评注 198

习题8 199

数值试验题8 201

第9章 常微分方法的数值解法 202

9.1 Euler方法 202

9.1.1 Euler方法及其有关的方法 202

9.1.2 局部误差和方法的阶 205

9.2 Runge-Kutta方法 207

9.2.1 Runge-Kutta方法的基本思想 207

9.2.2 几类显式Runge-Kutta方法 209

9.3 单步法的收敛性和稳定性 212

9.3.1 单步法的收敛性 212

9.3.2 单步法的稳定性 214

9.4 线性多步法 216

9.4.1 基于数值积分的方法 216

9.4.2 基于Taylor展开的方法 218

9.4.3 预估—校正算法 222

9.5 一阶方程组的数值解法 224

9.5.1 一阶方程组和高阶方程 224

9.5.2 刚性方程组 226

9.6 边值问题的数值解法 228

9.6.1 打靶法 229

9.6.2 差分法 232

9.6.3 差分问题的收敛性 234

评注 236

习题9 237

数值试验题9 239

习题答案 241

参考文献 247