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第1章 几何结构 1

1 数学结构的意义 1

1.1 数学发展的分化与统一 1

1.2 现代数学结构的分类 2

1.3 结构的作用 3

2 现代数学中欧氏几何的结构 4

2.1 几何学的向量结构 4

2.2 几何学的度量结构 8

3 经典数学中欧氏几何的结构 10

3.1 欧几里得《几何原本》——古典公理法 10

3.2 希尔伯特《几何基础》——近代公理法 14

4 教育数学中欧氏几何的结构 19

4.1 我国现行中学几何教材的结构分析 19

4.2 国际中学几何教材改革的趋向 21

4.3 21世纪中学平面几何新体系的探讨 24

习题1 33

第2章 几何证题 36

1 命题与证明 36

1.1 命题 36

1.2 推理与证明 40

2 几何证题的推理方法 44

2.1 综合法与分析法 44

2.2 直接证法与间接证法 48

2.3 演绎推理与合情推理 55

3 几何证题的思考方法 58

3.1 分解拼补法 58

3.2 命题转换法 63

3.3 特殊化 72

3.4 类比 75

3.5 面积法 77

4 其他数学方法在几何证题中的应用 82

4.1 三角法 82

4.2 代数法 86

4.3 坐标法 90

4.4 向量法 93

4.5 复数法 95

习题2 103

第3章 几何变换 110

1 变换与变换群 110

1.1 映射 110

1.2 变换 110

1.3 变换群 111

2 合同变换 113

2.1 合同变换及其性质 113

2.2 平移变换 115

2.3 旋转变换 117

2.4 反射 122

2.5 平移、旋转、反射之间的关系 124

2.6 自对称图形 131

3 相似变换 134

3.1 相似变换及其性质 134

3.2 位似变换 135

4 反演变换 142

4.1 反演变换及其性质 142

4.2 极点与极线 153

习题3 154

第4章 几何轨迹 157

1 轨迹的有关概念 157

1.1 轨迹的意义 157

1.2 轨迹基本定理 160

1.3 三种类型的轨迹题 161

2 用综合法探求点的轨迹 165

2.1 描迹法 165

2.2 几何变换法 170

2.3 条件代换法 173

3 用解析法探求点的轨迹 178

习题4 184

第5章 几何作图 186

1 几何作图基本知识 186

1.1 作图工具与作图公法 186

1.2 作图成法 187

1.3 作图题的条件与分类 188

1.4 解作图题的步骤 188

2 常用的作图方法 190

2.1 交轨法 190

2.2 三角形奠基法 193

2.3 变位法 196

2.4 位似法 199

2.5 反演法 200

2.6 代数法 202

3 尺规作图可能性的判断准则 206

3.1 尺规作图的充分必要条件 206

3.2 三次方程的根能否尺规作图的判定 207

3.3 三大尺规作图不能问题 208

3.4 尺规作图不能问题的判别方法 209

习题5 211

第6章 立体几何 214

1 点、直线、平面 214

2 简单多面体的欧拉公式 223

3 面积与体积 228

3.1 面积概念 228

3.2 体积概念 230

3.3 拟柱体与辛普生公式 232

4 立体几何证题法 238

4.1 分解拼补法 238

4.2 命题转换法 239

4.3 类比法 242

4.4 体积法 245

4.5 向量法 245

5 四面体的度量公式 247

6 多面角的概念与球面多边形的面积 253

习题6 256

第7章 球面几何 261

1 距离、线段、角 261

2 球面三角 268

3 对偶原则 273

4 图形相等与椭圆运动 277

习题7 279

第8章 双曲几何 283

1 距离、线段、角 285

2 双曲三角 292

3 图形相等与双曲运动 299

4 双曲几何模型 302

4.1 克莱因模型 302

4.2 庞加莱模型 305

习题8 308

第9章 n维欧氏几何简介 312

1 距离、线段、凸集、变换 312

2 超平面、凸多胞形 316

3 单形的体积 319

4 关于单形的射影定理、余弦定理和正弦定理 326

5 关于单形的几何不等式 331

6 重心坐标 340

习题9 340

习题答案和提示 343