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第1章 绪论 1

1.1 现代化工发展的趋势 1

1.2 化工问题的数学描述 3

1.3 化工问题的数学模型方法 6

1.3.1 化工数学物理模型法的具体工程实例 7

1.3.2 数学物理模型的用途 10

1.3.3 数学物理模型的分类 10

1.3.4 机理模型化方法的原则步骤 11

1.4 本书的内容架构 12

参考文献 13

第2章 常微分方程 15

2.1 变量可分离的微分方程 15

2.1.1 微分方程的基本概念 15

2.1.2 微分方程的分离变量法 16

2.2 一阶线性微分方程 17

2.2.1 齐次一阶线性微分方程 18

2.2.2 非齐次一阶线性微分方程 22

2.3 高阶微分方程 24

2.3.1 线性微分方程解的结构 24

2.3.2 齐次常系数线性微分方程的余函数 26

2.3.3 非齐次常系数线性微分方程的特解 28

2.3.4 特殊类型变系数高阶微分方程 35

2.4 线性微分方程组 43

2.4.1 一阶线性微分方程组 44

2.4.2 高阶常系数线性微分方程组 45

2.5 微分方程的级数解 47

2.5.1 泰勒级数 47

2.5.2 傅里叶级数 51

参考文献 54

第3章 复变函数概述 55

3.1 复数及其代数运算 55

3.1.1 复数的表示法 55

3.1.2 复数的运算 57

3.2 复变函数 60

3.2.1 复变函数的基本概念 60

3.2.2 基本超越函数 64

3.2.3 复变函数的导数 66

3.3 解析函数和调和函数 68

3.3.1 解析函数的基本概念 68

3.3.2 调和函数 70

3.4 解析函数的积分 72

3.4.1 复变函数的积分 72

3.4.2 柯西积分定理 73

3.5 解析函数的级数 77

3.5.1 解析函数的泰勒级数 77

3.5.2 罗朗级数与孤立奇点 78

3.6 留数理论及其应用 81

3.6.1 留数的定义和计算 82

3.6.2 计算极点的留数 83

3.6.3 应用留数定理计算实变函数的积分 85

参考文献 91

第4章 矢量分析与场论 92

4.1 矢量函数 92

4.1.1 矢量函数的基本概念 92

4.1.2 矢量函数的导数和积分 94

4.2 二阶张量 97

4.2.1 张量的概念 97

4.2.2 张量的代数运算 103

4.3 场论概述 105

4.3.1 数量场 105

4.3.2 矢量场 109

4.3.3 矢量场的梯度与张量场的散度 117

4.3.4 在正交曲线坐标系中物理量的梯度、散度和旋度的表达 119

4.4 场论在化学工程中的应用 123

4.4.1 描述流体运动的两种方法 123

4.4.2 物理量的质点导数 129

4.4.3 三种重要的矢量场 131

4.4.4 化工系统中数理模型的建立 140

4.4.5 在化学工程中场论的应用 142

参考文献 153

第5章 积分变换 154

5.1 积分变换的基本概念 154

5.2 傅里叶变换 155

5.2.1 傅里叶积分 156

5.2.2 傅里叶变换的定义和δ函数 158

5.2.3 傅里叶变换的性质和定理 164

5.2.4 多维傅里叶变换 166

5.3 拉普拉斯变换 171

5.3.1 拉普拉斯变换的定义和性质 171

5.3.2 拉普拉斯逆变换 178

5.3.3 拉普拉斯变换的应用 184

参考文献 193

第6章 偏微分方程与特殊函数 194

6.1 偏微分方程的基本概念和分类 194

6.1.1 典型二阶线性偏微分方程 195

6.1.2 偏微分方程的定解条件和定解问题 200

6.2 典型偏微分方程的建立 208

6.2.1 波动方程 208

6.2.2 输运方程 212

6.2.3 稳态方程 216

6.3 偏微分方程的分离变量法 217

6.3.1 斯图姆—刘维尔型方程及其本征值问题 217

6.3.2 用傅里叶级数展开分离变量 219

6.3.3 齐次偏微分方程的分离变量法 224

6.4 非齐次泛定方程 231

6.4.1 本征函数法 231

6.4.2 非齐次边界条件的处理 235

6.5 球坐标系中的分离变量法 241

6.5.1 勒让德方程的引出 242

6.5.2 勒让德方程的解 244

6.5.3 勒让德多项式和傅里叶—勒让德级数 247

6.5.4 关联勒让德函数 252

6.5.5 勒让德函数的应用举例 256

6.6 柱坐标系中的分离变量法 259

6.6.1 贝塞尔方程的引出 259

6.6.2 柱贝塞尔方程的解 262

6.6.3 柱贝塞尔函数的性质 266

6.6.4 柱贝塞尔方程及其解的形式 274

6.6.5 柱坐标系偏微分方程解的形式 275

6.6.6 球贝塞尔方程 276

6.6.7 贝塞尔方程的应用举例 278

6.7 冲量定理法和格林函数法 285

6.7.1 δ函数 285

6.7.2 冲量定理及其应用 289

6.7.3 稳态问题的格林函数法 294

6.7.4 非稳态问题的格林函数法 303

6.8 无界空间的定解问题 306

6.8.1 齐次波动方程的行波法 307

6.8.2 分离变量的傅里叶积分法 314

6.8.3 用点源法求无界空间的格林函数 317

参考文献 323

第7章 偏微分方程的近似法 324

7.1 变分法及其应用 325

7.1.1 变分的基本问题和泛函的变分 325

7.1.2 泛函的基本概念 327

7.1.3 泛函的极值和欧拉方程 331

7.1.4 泛函的条件极值 338

7.1.5 变分问题的瑞利—里茨直接法 344

7.1.6 变分法在工程中的应用 351

7.2 数值计算的基本概述 359

7.2.1 数值计算的基本方法 359

7.2.2 伽辽金方法 362

7.3 偏微分方程的有限差分法 364

7.3.1 有限差分及其基本差分格式 365

7.3.2 偏微分方程的基本差分格式 369

7.3.3 差分方程的稳定性 379

7.4 有限单元法概述 383

7.4.1 有限单元法的基本知识 383

7.4.2 不可压缩流体N-S方程的有限元解 387

7.5 数值计算的商业软件及其应用 391

7.5.1 软件的相关概念 391

7.5.2 常用商业软件简介 394

7.5.3 聚合物流动模拟软件Polyflow的应用 400

参考文献 416

附录一 拉普拉斯变换表 418

附录二 练习题答案 421

附录三 索引 429