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第1讲 方阵函数 1

1.1 Jordan标准形温习 1

1.2 方阵函数的定义 4

1.3 方阵函数的其他等价定义 5

1.4 方阵函数的性质 9

1.5 矩阵函数的初等因子 10

第2讲 矩阵的直积和矩阵方程 13

2.1 线性矩阵方程和矩阵直积 13

2.2 矩阵直积的性质 14

2.3 方程AX-XB=C 17

2.4 方阵的中心化子 20

2.5 方阵多项式方程 23

第3讲 复合矩阵和行列式恒等式 26

3.1 记号 26

3.2 复合矩阵的定义和性质 27

3.3 几个行列式恒等式 28

3.4 加性复合矩阵 31

第4讲 酉方阵、Hermite方阵和规范方阵 33

4.1 方阵的酉相似 33

4.2 循回方阵 36

4.3 几类特殊的规范方阵 38

4.4 酉相抵和奇异值 40

4.5 实规范方阵 43

第5讲 Hermite方阵的特征值和一般方阵的奇异值 45

5.1 Hermite方阵特征值的性质 45

5.2 方阵之积的特征值和奇异值 48

5.3 方阵之和的特征值和奇异值 51

5.4 Schur和Hadamard的不等式 53

5.5 Hadamard积 55

第6讲 非负元方阵和布尔方阵 58

6.1 基本定理 58

6.2 不可约性探究 60

6.3 基本定理的证明 65

6.4 本原性探究 69

6.5 本原方阵的指数 74

6.6 一般非负方阵的性质 76

6.7 随机方阵 80

6.8 M方阵 83

6.9 布尔方阵 85

练习 90

第7讲 矩阵的组合性质 92

7.1 项秩与线秩 92

7.2 置换相抵标准形 95

7.3 积和式 99

7.4 （0,1）矩阵与子集系 104

7.5 （0,1）矩阵类？（R,S） 107

7.6 van der Waerden猜想的证明 111

练习 117

第8讲 矩阵的广义逆 118

8.1 广义逆与解线性方程组 118

8.2 Moore-Penrose逆 123

第9讲 完全正方阵 127

9.1 完全正方阵与双非负方阵 127

9.2 阶数≤4的完全正方阵的刻画 129

9.3 完全正方阵与比较方阵 133

9.4 完全正图 135

9.5 CP秩 140

第10讲 图的Laplace方阵 147

10.1 矩阵与树定理 147

10.2 图的Laplace特征值的基本性质 150

10.3 图的最大Laplace特征值（谱半径） 151

10.4 图的代数连通度 156

10.5 图的特征值的和 158

10.6 图的特征值技巧 160

10.7 广义Laplace方阵 164