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第1章 函数——微积分的研究对象 1

1.1 预备知识 1

1.1.1 集合 1

1.1.2 实数 2

1.1.3 区间与邻域 2

习题1.1 4

1.2 函数 5

1.2.1 函数概念 5

1.2.2 函数的表示方法 8

习题1.2 9

1.3 函数的几种特性 10

习题1.3 13

1.4 反函数与复合函数 13

1.4.1 反函数 13

1.4.2 复合函数 15

习题1.4 16

1.5 初等函数 17

1.5.1 基本初等函数 17

1.5.2 常见的初等函数 21

习题1.5 22

1.6 数学模型 22

1.6.1 数学模型的建立 22

1.6.2 常用的经济函数 23

1.6.3 经济应用举例 24

习题1.6 26

总习题1 28

第2章 极限——微积分的灵魂 31

2.1 数列的极限 31

习题2.1 37

2.2 函数的极限 37

2.2.1 自变量趋向于无穷大时函数的极限 37

2.2.2 自变量趋向于有限值时函数的极限 40

2.2.3 单侧极限 43

习题2.2 44

2.3 极限的性质 45

习题2.3 47

2.4 无穷小量与无穷大量 48

2.4.1 无穷小量 48

2.4.2 无穷小量的运算性质 49

2.4.3 无穷大量 51

习题2.4 52

2.5 极限的运算法则 53

习题2.5 56

2.6 极限存在准则 两个重要极限 57

2.6.1 极限存在准则 57

2.6.2 两个重要极限 58

2.6.3 重要极限应用举例 64

习题2.6 65

2.7 无穷小的比较 66

习题2.7 69

2.8 连续函数——变量连续变化的数学模型 69

2.8.1 函数的连续性 69

2.8.2 函数的间断点 72

习题2.8 74

2.9 连续函数的运算与初等函数的连续性 75

2.9.1 连续函数的运算 75

2.9.2 初等函数的连续性 76

习题2.9 77

2.10 闭区间上连续函数的性质 78

习题2.10 79

总习题2 81

第3章 导数与微分——函数的变化率与函数增量的估计 85

3.1 导数 85

3.1.1 导数的两个现实原型 86

3.1.2 导数的定义 87

3.1.3 左导数与右导数 89

3.1.4 可导与连续的关系 90

3.1.5 几个基本初等函数的导数 92

习题3.1 93

3.2 函数的求导法则 94

3.2.1 导数的四则运算法则 94

3.2.2 反函数的导数 96

3.2.3 复合函数的导数 96

习题3.2 98

3.3 高阶导数 99

习题3.3 102

3.4 隐函数及由参数方程所确定函数的导数 102

3.4.1 隐函数的导数 102

3.4.2 参数方程所确定的函数的导数 105

习题3.4 107

3.5 函数的微分 108

3.5.1 微分概念 108

3.5.2 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 111

3.5.3 微分在近似计算中的应用 112

习题3.5 114

3.6 物理与经济学中的导数问题 114

3.6.1 导数的物理含义 114

3.6.2 导数的经济含义 116

习题3.6 118

总习题3 119

第4章 微分中值定理与导数的应用 121

4.1 微分中值定理——联结局部与整体的纽带 121

习题4.1 127

4.2 洛必达法则 128

4.2.1 0/0型不定型 128

4.2.2 ∞/∞型不定型 130

4.2.3 其他类型的不定型 131

习题4.2 133

4.3 泰勒公式 133

4.3.1 泰勒公式 133

4.3.2 常用的泰勒公式 137

习题4.3 139

4.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 140

4.4.1 函数的单调性 140

4.4.2 曲线的凹凸性 142

习题4.4 144

4.5 函数的极值与最值 145

4.5.1 函数的极值 145

4.5.2 函数的最值 148

习题4.5 151

4.6 函数图像的描绘 152

习题4.6 154

总习题4 156

第5章 不定积分——求导运算的逆运算 158

5.1 不定积分的概念与性质 158

5.1.1 原函数与不定积分的概念 158

5.1.2 不定积分的性质 162

习题5.1 163

5.2 不定积分的基本公式 163

习题5.2 165

5.3 换元积分法 166

5.3.1 第一类换元积分法（凑微分法） 166

5.3.2 第二类换元积分法 172

习题5.3 177

5.4 分部积分法 178

习题5.4 182

总习题5 183

第6章 定积分——连续对象的无穷求和问题 185

6.1 定积分的概念和性质 185

6.1.1 定积分的两个现实原型 185

6.1.2 定积分的定义 188

6.1.3 定积分的几何意义 191

习题6.1 192

6.2 定积分的基本性质 193

习题6.2 196

6.3 微积分基本公式 197

6.3.1 积分上限函数及其导数 198

6.3.2 牛顿-莱布尼茨公式 200

习题6.3 202

6.4 定积分的换元积分法与分部积分法 203

6.4.1 定积分的换元积分法 203

6.4.2 定积分的分部积分法 205

习题6.4 207

6.5 广义积分 208

6.5.1 无穷区间上的广义积分 208

6.5.2 无界函数的广义积分 211

习题6.5 213

6.6 定积分的应用 214

6.6.1 定积分的微元法 214

6.6.2 定积分在几何学上的应用 215

6.6.3 定积分在物理与经济中的应用 223

习题6.6 225

总习题6 228

附录1 常用的曲线及其方程 230

附录2 积分表 233

习题答案 242

参考文献 260