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绪论 1

0.1　经典力学从Newton到Birkhoff 1

0.1.1 Newton力学 1

0.1.2　Lagrange力学 3

0.1.3　Hamilton力学 5

0.1.4　非完整力学 6

0.1.5　Birkhoff力学 8

0.1.6　小结 10

0.2　对称性 11

0.3　绝热不变量 12

0.4　分岔与混沌 13

0.4.1　分岔 13

0.4.2　混沌 15

0.5　Hamilton系统的分岔与混沌 18

0.5.1　平面Hamilton系统的性质 18

0.5.2　Melnikov方法及其应用 18

0.5.3　KAM定理 19

0.5.4　广义Hamilton系统 19

参考文献 20

第一章　Birkhoff系统动力学基本理论框架 23

1.1　Birkhoff方程和Pfaff-Birkhoff原理 24

1.1.1　Birkhoff方程 24

1.1.2　Pfaff-Birkhoff原理 25

1.2　完整力学系统的Birkhoff动力学 26

1.2.1　特殊完整系统的Birkhoff动力学 26

1.2.2 一般完整系统的Birkhoff动力学 26

1.3　非完整力学系统的Birkhoff动力学 27

1.4　Birkhoff系统的积分理论 28

1.4.1　Birkhoff方程的变换理论 28

1.4.2　广义Hamilton-Jacobi方法 29

1.4.3　Birkhoff系统的Noether理论 29

1.4.4　积分Birkhoff方程的场方法 30

1.4.5　Birkhoff系统的Poisson理论 30

1.5　Birkhoff系统动力学逆问题 30

1.6　Birkhoff系统的运动稳定性 31

1.7　Birkhoff系统的代数和几何描述 32

1.7.1　代数表示 32

1.7.2　几何表示 32

参考文献 33

第二章　Birkhoff系统的降阶法与积分不变量的构造 35

2.1　自由Birkhoff系统的Poisson理论 35

2.1.1　自由Birkhoff系统的广义Poisson括号 36

2.1.2 第一积分的广义Poisson条件 37

2.1.3 自由Birkhoff系统的广义Poisson定理 38

2.1.4　算例 40

2.2　约束Birkhoff系统的Poisson理论 41

2.2.1 约束Birkhoff系统运动方程的逆变代数形式 41

2.2.2 约束Birkhoff系统的Poisson理论 44

2.2.3　算例 46

2.3　Birkhoff系统的第一积分及其降阶法 48

2.3.1　Birkhoff系统的循环积分 48

2.3.2　Birkhoff系统的广义能量积分 51

2.3.3　算例 52

2.4 自由Birkhoff系统等时变分下积分不变量的构造 54

2.4.1 自由Birkhoff系统的等时变分方程 54

2.4.2 自由Birkhoff系统等时变分下积分不变量的构造 54

2.5 约束Birkhoff系统等时变分下积分不变量的构造 55

2.5.1 约束Birkhoff系统的等时变分方程 55

2.5.2 约束Birkhoff系统等时变分下积分不变量的构造 56

2.6　自由Birkhoff系统非等时变分下积分不变量的构造 57

2.6.1　自由Birkhoff系统的非等时变分方程 57

2.6.2 自由Birkhoff系统非等时变分下积分不变量的构造 58

2.7　约束Birkhoff系统非等时变分下积分不变量的构造 59

2.7.1　约束Birkhoff系统的非等时变分方程 59

2.7.2 约束Birkhoff系统非等时变分下积分不变量的构造 61

参考文献 62

第三章　Birkhoff系统的形式不变性 63

3.1 自由Birkhoff系统的形式不变性 64

3.1.1 自由Birkhoff系统的形式不变性 64

3.1.2 形式不变性与Noether对称性 66

3.1.3　算例 66

3.2　约束Birkhoff系统的方程 67

3.2.1　Pfaff-Birkhoff-D′Alembert原理 67

3.2.2　约束Birkhoff系统带乘子的运动方程 68

3.2.3 约束Birkhoff系统不带乘子的运动方程 69

3.3　约束Birkhoff系统的形式不变性 71

3.3.1 约束Birkhoff系统的形式不变性 71

3.3.2　约束Birkhoff系统形式不变性与Noether对称性 73

3.3.3　算例 73

参考文献 75

第四章　Birkhoff系统的Noether对称性与Lie对称性 79

4.1　Pfaff作用量与Noether对称性 79

4.1.1　Pfaff作用量的变分 79

4.1.2　对称变换、准对称变换和广义准对称变换 81

4.1.3　广义Killing方程 85

4.1.4　算例 86

4.2　自由Birkhoff系统的Noether理论 87

4.2.1 自由Birkhoff系统的运动方程 87

4.2.2　广义Noether定理 87

4.2.3 广义Noether逆定理 88

4.2.4　算例 89

4.3　约束Birkhoff系统的Noether理论 91

4.3.1 约束Birkhoff系统的运动方程 91

4.3.2　相应自由系统的Noether理论 92

4.3.3　约束Birkhoff系统的广义Noether定理 92

4.3.4 约束Birkhoff系统的广义Noether逆定理 94

4.3.5 约束Birkhoff系统与相应自由Birkhoff系统的对称性 95

4.3.6 算例 96

4.4 自由Birkhoff系统的Lie对称性 97

4.4.1　自由Birkhoff系统的运动方程 97

4.4.2　无限小群变换与确定方程 98

4.4.3　结构方程与守恒量 99

4.4.4　Lie对称性逆问题 100

4.4.5 算例 101

4.5　约束Birkhoff系统的Lie对称性 104

4.5.1 约束Birkhoff系统的运动方程 104

4.5.2 确定方程、限制方程和附加限制方程 105

4.5.3 结构方程与守恒量 106

4.5.4　Lie对称性逆问题 107

4.5.5　算例 108

4.6 自由Birkhoff系统的Noether对称性与Lie对称性 111

4.6.1 自由Birkhoff系统的Noether对称性 111

4.6.2 自由Birkhoff系统的Lie对称性 112

4.6.3　自由Birkhoff系统的Noether对称性与Lie对称性的关系 113

4.6.4　算例 113

4.7　约束Birkhoff系统的Noether对称性与Lie对称性 115

4.7.1 约束Birkhoff系统的Noether对称性 115

4.7.2 约束Birkhoff系统的Lie对称性 117

4.7.3 约束Birkhoff系统的Noether对称性与Lie对称性的关系 117

4.7.4 算例 118

参考文献 120

第五章　Birkhoff系统对称性摄动与绝热不变量 122

5.1　自由Birkhoff系统对称性摄动与绝热不变量 123

5.1.1 自由Birkhoff系统的运动方程 123

5.1.2　无限小单参数变换与确定方程 124

5.1.3 结构方程与精确不变量 125

5.1.4　自由Birkhoff系统的绝热不变量 126

5.1.5 有关结论的逆命题 128

5.1.6 算例 130

5.2　约束Birkhoff系统对称性摄动与绝热不变量 131

5.2.1　约束Birkhoff系统的方程 131

5.2.2 确定方程、限制方程和附加限制方程 132

5.2.3　结构方程与精确不变量 133

5.2.4 约束Birkhoff系统对称性摄动与绝热不变量 133

5.2.5 有关结论的逆命题 134

5.2.6 算例 136

参考文献 140

第六章　二阶自治Birkhoff系统的定性理论 143

6.1　二阶自治Birkhoff系统的奇点类型 143

6.1.1 系统的运动方程和奇点方程 143

6.1.2 用线性近似系统判断系统的奇点 145

6.1.3 用Birkhoff函数B判断系统的奇点 147

6.1.4　对称原理 148

6.1.5 闭轨与极限环 149

6.1.6　关于平衡稳定性 150

6.2　稳定流形和不稳定流形 150

6.2.1　双曲平衡点 150

6.2.2　稳定流形和不稳定流形 151

6.2.3 无穷远奇点和全局结构 151

6.2.4　算例 152

6.3　平衡点分岔 155

6.3.1 极限点分岔 156

6.3.2　跨临界分岔 156

6.3.3 叉形分岔 157

6.4　一类广义Birkhoff系统的代数极限环 158

参考文献 160

第七章 Birkhoff系统的平衡稳定性、运动稳定性与全局稳定性 161

7.1　稳定性基本概念与基本定理 161

7.1.1 受扰运动微分方程 161

7.1.2　稳定性定义 162

7.1.3 Ляпунов函数和K类函数 163

7.1.4 Ляпунов直接法的基本定理 164

7.1.5 定常线性系统的Ляпунов函数 165

7.1.6 Ляпунов一次近似理论 167

7.1.7　Routh-Hurwitz判据 168

7.2 自治Birkhoff系统的平衡稳定性 171

7.2.1 系统运动方程和平衡方程 171

7.2.2 自治系统受扰运动方程和一次近似方程 172

7.2.3　自治Birkhoff系统平衡稳定性的一次近似方法 172

7.2.4 自治Birkhoff系统平衡稳定性的直接方法 173

7.2.5　Birkhoff系统平衡状态流形的稳定性 174

7.3　Birkhoff系统的运动稳定性 176

7.3.1 Birkhoff系统的受扰运动方程 176

7.3.2 Birkhoff系统的运动稳定性 177

7.4 自治Birkhoff系统的全局稳定性 180

7.4.1 自治Birkhoff系统的全局稳定性 180

7.4.2 算例 183

参考文献 185

第八章　Birkhoff系统的分岔与混沌 187

8.1　Melnikov方法 188

8.1.1 同宿轨道的平面Hamilton系统的Melnikov函数 188

8.1.2 具有异宿圈的平面Hamilton系统的Melnikov函数 191

8.1.3 平面非Hamilton系统的Melnikov函数 192

8.2 高维自治Birkhoff系统周期解的存在性 193

8.2.1 系统运动方程和奇点方程 193

8.2.2　Fréchet导数 194

8.2.3　周期解族的存在性 195

8.2.4 算例 196

8.3 二阶自治Birkhoff扰动系统的Poincaré分岔 197

8.3.1 系统运动方程和闭轨方程 198

8.3.2　Poincaré分岔 199

8.3.3　算例 202

8.4　具有异宿圈的二阶自治Birkhoff系统的混沌 203

8.4.1 系统运动方程和异宿轨道方程 203

8.4.2　混沌判据 204

8.4.3　算例 206

参考文献 207