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第1章 伪球曲面，经典B？cklund变换和Bianchi方程组 1

1.1 双曲曲面的Gauss-Weingarten方程组，伪球曲面和sine-Gordon方程 1

1.2 Sine-Gordon方程的经典B？cklund变换 5

1.3 Bianchi的可换性定理和多孤立子解的生成 10

1.3.1 Bianchi的可换性定理 10

1.3.2 物理应用 12

1.4 伪球孤立子曲面和呼吸子 13

1.4.1 伪球面 14

1.4.2 伪球螺旋面 16

1.4.3 双孤立子曲面 17

1.4.4 呼吸子 18

1.4.5 静态呼吸子曲面 19

1.5 平行曲面和一类Weingarten曲面上的诱导B？cklund变换 21

1.5.1 常平均曲率曲面和Bonnet定理 22

1.5.2 一个导出的B？cklund变换 23

1.6 Bianchi方程组及其自B？cklund变换 24

1.6.1 双曲曲面及其球表示 25

1.6.2 双曲曲面的一个B？cklund变换 27

1.6.3 Bianchi方程组 30

第2章 曲线和曲面的运动及其同孤立子的联系 36

2.1 常挠率和常曲率曲线的运动以及同sine-Gordon方程的联系 36

2.1.1 常挠率不可伸长曲线的运动 37

2.1.2 常曲率不可伸长曲线的运动 38

2.2 sine-Gordon方程的一个2×2线性表示 39

2.3 伪球曲面的运动，Weingarten方程组及其B？cklund变换 42

2.3.1 非简谐格点模型的连续极限 45

2.3.2 Weingarten方程组 45

2.3.3 B？cklund变换 46

2.4 mKdV方程，运动曲线与孤立子曲面表示以及孤立子Weingarten方程组 52

2.4.1 mKdV方程 52

2.4.2 Dini曲面的运动 53

2.4.3 三元正交Weingarten系统 56

第3章 Tzitzeica曲面，共轭网与Toda格 59

3.1 Tzitzeica曲面及其同可积气体动力学方程组的联系 59

3.1.1 Tzitzeica方程和仿射球方程 59

3.1.2 气体动力学中的仿射球方程 64

3.2 Tzitzeica曲面的构造及其B？cklund变换 69

3.3 Laplace-Darboux变换，二维Toda格和共轭网 76

3.3.1 Laplace-Darboux变换 76

3.3.2 Laplace-Darboux变换的重复作用和二维Toda格 77

3.3.3 二维Toda格，它的线性表示和B？cklund变换 79

3.3.4 共轭网 82

第4章 Hasimoto曲面与非线性Schr？dinger方程，它们的几何及相关的孤立子方程 84

4.1 从法向运动与非线性Schr？dinger方程以及Heisenberg自旋方程 85

4.1.1 单孤立子NLS曲面 86

4.1.2 几何性质 89

4.1.3 Heisenberg自旋方程 91

4.2 Pohlmeyer-Lund-Regge模型，同SIT方程组和SRS方程组的联系，以及同NLS方程的相容性 92

4.2.1 Pohlmeyer-Lund-Regge模型 93

4.2.2 与SIT方程组的联系 94

4.2.3 与SRS方程组的联系 96

4.2.4 Maxwell-Bloch方程组与NLS方程的相容性 97

4.3 NLS方程的几何与自B？cklund变换 99

4.3.1 非线性Schr？dinger方程 103

4.3.2 自B？cklund变换 106

第5章 等温曲面，Calapso方程和Zoomeron方程 111

5.1 等温曲面的Gauss-Mainardi-Codazzi方程组，Calapso方程以及对偶等温曲面 111

5.2 Rn＋2中等温曲面的几何 114

5.2.1 共轭坐标和正交坐标 115

5.2.2 等温曲面 116

5.2.3 特殊情形以及推广 117

5.3 向量Calapso方程组及其标量Lax对 119

5.3.1 向量Calapso方程组 119

5.3.2 标量Lax对 120

5.3.3 约化 122

5.4 基本变换 123

5.4.1 平行网与梳状变换 123

5.4.2 径向变换 124

5.4.3 基本变换 124

5.5 等温曲面的B？cklund变换 126

5.5.1 共轭坐标系的基本变换 126

5.5.2 Ribaucour变换 128

5.5.3 等温曲面的B？cklund变换 130

5.6 可换性定理及其几何意义 132

5.6.1 共轭网的可换性定理与平面性 132

5.6.2 正交共轭网的可换性定理与共圆性 134

5.6.3 等温曲面的可换性定理与常交比性 136

5.7 向量Calapso方程组显式的可换性定理 139

5.7.1 Ribaucour变换与Moutard变换的关系 139

5.7.2 可换性定理 140

5.8 特殊的等温曲面，单孤立子曲面与四次圆纹曲面 142

5.8.1 单孤立子等温曲面 142

5.8.2 由Moutard变换生成的一族解 144

5.8.3 Dupin四次圆纹曲面 148

第6章 孤立子曲面的一般性质以及规范变换和反向变换的作用 153

6.1 AKNS 2×2谱问题 154

6.1.1 伪球曲面的位置向量 154

6.1.2 su(2)线性表示及其相关的孤立子曲面：r=-q时的AKNS系统 157

6.2 NLS特征函数梯队，几何性质和Miura变换 163

6.2.1 作为特征函数方程解的孤立子曲面的位置向量 163

6.2.2 Serret-Frenet方程和NLS梯队 166

6.3 反向变换和圈孤立子 167

6.3.1 反向变换和圈孤立子方程 167

6.3.2 圈孤立子 170

6.4 Dym梯队，mKdV梯队，KdV梯队及其联系 172

6.4.1 反向变换下的不变性以及一类平面曲线运动 173

6.4.2 Dym梯队，mKdV梯队和KdV梯队 175

6.4.3 可换性定理 177

6.4.4 mKdV梯队的几何导出 179

6.5 常曲率曲线的从法向运动和推广的Dym曲面 181

6.5.1 常曲率曲线 182

6.5.2 推广的Dym曲面和su(2)线性表示 185

6.5.3 CC理想表示 188

6.5.4 推广的Dym方程和m2KdV方程的矩阵Darboux变换和B？cklund变换 191

6.5.5 孤立子曲面 193

6.6 常挠率曲线的从法向运动与推广的sine-Gordon方程组 196

6.6.1 推广的sine-Gordon方程组 196

6.6.2 基本形式和su(2)线性表示 197

6.6.3 B？cklund变换 198

6.6.4 Bianchi变换的类似和对偶曲面 199

第7章 B？cklund变换与Darboux矩阵的联系 202

7.1 伪球曲面和非线性Schr？dinger曲面的联系 202

7.1.1 伪球曲面 202

7.1.2 NLS曲面 206

7.2 AKNS系统的Darboux矩阵，诱导B？cklund变换以及常距离性质 210

7.2.1 基本矩阵Darboux变换 211

7.2.2 su(2)约束下的不变性 213

7.2.3 满足r=-q的AKNS梯队及其基本B？cklund变换 214

7.2.4 常距离性质 217

7.3 Darboux变换的重复作用及一般的可换性定理 219

7.3.1 矩阵Darboux变换的重复作用 219

7.3.2 一般的可换性定理 222

第8章 Bianchi方程组和Ernst方程组，它们的B？cklund变换和可换性定理 227

8.1 Bianchi曲面和Sym-Tafel公式的应用 227

8.2 非等谱线性表示的矩阵Darboux变换 229

8.3 su(2)约束的不变性和距离性质 231

8.4 广义相对论中的Ernst方程 232

8.4.1 线性表示 233

8.4.2 对偶“Ernst方程” 234

8.5 Ehlers变换和Matzner-Misner变换 237

8.6 Neugebauer变换和Harrison B？cklund变换 238

8.7 Ernst方程的矩阵Darboux变换 245

8.8 Ernst方程及其对偶方程的可换性定理以及同Bianchi方程的联系 248

第9章 射影极小曲面和等温渐近曲面 252

9.1 射影微分几何中Gauss-Mainardi-Codazzi方程组的类比 252

9.2 射影极小曲面，Godeaux-Rozet曲面和Demoulin曲面 254

9.3 线性表示 257

9.3.1 Wilczynski四面体和4×4线性表示 257

9.3.2 Plücker对应和6×6线性表示 258

9.4 作为周期Toda格的Demoulin方程组 261

9.5 射影极小曲面的B？cklund变换 263

9.5.1 so(3,3)线性表示的不变性 264

9.5.2 sl(4)线性表示的不变性 269

9.6 单孤立子Demoulin曲面 270

9.7 等温渐近曲面和静态mNVN方程 274

9.7.1 静态mNVN方程 275

9.7.2 静态NVN方程 276

9.8 等温渐近曲面的B？cklund变换 280

9.8.1 mNVN方程的不变性 280

9.8.2 NVN方程的不变性和等温渐近曲面的B？cklund变换 282

附录A su(2)与so(3)的同构 285

附录B CC－理想 288

附录C 传记 293

参考文献 296

补充参考文献 318

致谢 322

《现代数学译丛》已出版书目 323