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第1章 预备知识 1

1.1 集合与映射 1

1.1.1 集合 1

1.1.2 映射 3

1.1.3 集合的基数（或势） 4

习题1-1 5

1.2 关系与分类 6

1.2.1 关系 6

1.2.2 分类 7

1.2.3 同余关系 8

习题1-2 9

1.3 良序公理与Zorn引理 9

1.3.1 良序公理 9

1.3.2 偏序关系 10

1.3.3 Zorn引理 11

习题1-3 12

1.4 运算与代数系 12

1.4.1 运算 12

1.4.2 结合性与交换性 13

1.4.3 代数系 14

习题1-4 15

综合练习题一 15

第2章 群 17

2.1 群的定义及例子 17

2.1.1 群的定义 17

2.1.2 典型例子 18

2.1.3 元素的阶（或周期） 19

习题2-1 20

2.2 子群与同态 21

2.2.1 子群 21

2.2.2 同态 22

2.2.3 循环群 23

习题2-2 24

2.3 置换群 25

2.3.1 置换群的定义 25

2.3.2 置换群的性质 26

2.3.3 Cayley定理 27

习题2-3 28

2.4 陪集与指数 29

2.4.1 陪集 29

2.4.2 指数与Lagrange定理 30

2.4.3 关于指数的几个定理 31

习题2-4 32

2.5 正规性与同态基本定理 33

2.5.1 正规性 33

2.5.2 商群 34

2.5.3 同态基本定理 35

习题2-5 36

综合练习题二 36

第3章 有限群的Sylow定理 38

3.1 群在集合上的作用 38

3.1.1 定义及例子 38

3.1.2 轨道与固定子群 39

3.1.3 轨道与固定子群的应用 40

习题3-1 41

3.2 Sylow定理 42

3.2.1 Cauchy定理 42

3.2.2 ρ-群的性质 43

3.2.3 三个基本定理 43

习题3-2 45

综合练习题三 45

第4章 环 47

4.1 环的定义及例子 47

4.1.1 环的定义 47

4.1.2 典型例子 48

4.1.3 整环、除环和域 49

习题4-1 50

4.2 理想与同态 51

4.2.1 理想 51

4.2.2 同态及同态基本定理 53

4.2.3 中国剩余定理 54

习题4-2 55

4.3 素理想与极大理想 55

4.3.1 素理想 56

4.3.2 极大理想 57

习题4-3 59

4.4 交换环的局部化 59

4.4.1 分式环的构造 59

4.4.2 分式环的理想 61

习题4-4 62

4.5 主理想整环与欧氏整环 63

4.5.1 主理想整环 63

4.5.2 欧氏整环 64

习题4-5 65

4.6 唯一分解整环 65

4.6.1 不可约元与素元 65

4.6.2 主理想整环是唯一分解整环 68

习题4-6 70

综合练习题四 70

第5章 域 72

5.1 扩域 72

5.1.1 环的特征 72

5.1.2 维数公式 73

习题5-1 75

5.2 单扩域 76

5.2.1 代数元与超越元 76

5.2.2 单扩域的结构 77

习题5-2 80

5.3 代数扩域 80

5.3.1 代数扩域的性质 80

5.3.2 代数元的性质 81

习题5-3 82

5.4 分裂域 83

5.4.1 分裂域的存在性 83

5.4.2 分裂域的唯一性 84

习题5-4 86

5.5 有限域 86

5.5.1 有限域的性质 86

5.5.2 有限域的构造 87

习题5-5 89

综合练习题五 89

第6章 模 91

6.1 模的定义及例子 91

6.1.1 模的定义 91

6.1.2 典型例子 92

习题6-1 93

6.2 子模与同态 93

6.2.1 子模 93

6.2.2 同态及同态基本定理 94

习题6-2 95

6.3 模的正合列 96

6.3.1 正合列的定义 96

6.3.2 短正合列的可裂性 97

习题6-3 98

6.4 直积与直和 100

6.4.1 直积 100

6.4.2 直和 101

习题6-4 102

6.5 自由模与向量空间 103

6.5.1 自由模 103

6.5.2 向量空间 105

习题6-5 107

综合练习题六 107

习题参考答案 109

参考文献 149