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第1部分 经典微分几何 2

第1章 曲线论 2

1.1 平面曲线 3

1.2 Frenet公式的应用 8

1.3 空间曲线 13

1.4 空间曲线实例 18

第2章 空间中的曲面 22

2.1 空间曲面的概念 22

2.2 曲面上的曲线 30

2.3 椭球面上的测地线 33

2.4 曲面的曲率 34

2.5 实例计算 39

2.6 曲面上形状算子 44

2.7 外微分形式 47

2.8 活动标架法 52

2.9 曲面基本方程的求解 56

2.10 外微分的进一步应用 61

2.11 极小曲面 63

第3章 二维黎曼几何 66

3.1 黎曼度量与结构方程 66

3.2 矢量场与其协变导数 71

3.3 测地线 76

3.4 散度和梯度算子 82

3.5 Gauss-Bonnet公式 85

第2部分 现代几何 92

第4章 微分流形和外微分形式 92

4.1 微分流形 92

4.2 Rn中开集上的外微分形式 99

4.3 流形上的微分形式和向量场 105

4.4 Lie导数 113

5.1 张量及其代数运算 122

第5章 张量和黎曼几何 122

5.2 张量的Lie导数 125

5.3 对称和反对称张量，张量微分 129

5.4 协变导数和黎曼曲率 137

5.5 欧氏空间的子流形 148

5.6 常曲率空间 155

5.7 流形上的积分简介 158

附录 161

参考文献 163

索引 164