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第一章 函数、极限与连续 1

第一节 函数 1

一、集合及其运算 1

二、函数的概念 4

三、函数的几种简单特性 9

四、反函数与复合函数 13

五、初等函数 15

习题1-1 19

第二节 数列的极限 22

一、数列极限的概念 22

二、收敛数列的性质 25

三、数列极限概念的进一步讨论 27

习题1-2 28

第三节 函数的极限 29

一、函数极限的概念 29

二、函数极限的性质 35

三、函数极限概念的进一步讨论 36

习题1-3 39

第四节 极限的运算法则 40

一、无穷小与无穷大 40

二、极限的四则运算法则 43

三、复合函数的极限运算法则 47

习题1-4 49

第五节 极限存在准则与重要极限 50

一、准则Ⅰ与？ 50

二、准则Ⅱ与？ 53

习题1-5 59

第六节 无穷小的比较 60

一、无穷小的比较 60

二、等价无穷小的应用 63

习题1-6 65

第七节 函数的连续性 66

一、函数连续的概念 66

二、函数的间断点 68

三、连续函数的运算与初等函数的连续性 70

习题1-7 73

第八节 闭区间上连续函数的性质 75

一、有界性与最大值最小值定理 75

二、零点定理与介值定理 76

习题1-8 78

第二章 导数与微分 79

第一节 导数的概念 79

一、导数概念的引出 79

二、导数的定义 81

三、求导数举例 83

四、单侧导数 85

五、可导与连续的关系 85

习题2-1 86

第二节 求导法则 87

一、导数的四则运算法则 87

二、反函数与复合函数的求导法则 90

三、基本求导法则与导数公式 95

四、高阶导数 96

习题2-2 99

第三节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 101

一、隐函数的导数 101

二、由参数方程所确定的函数的导数 104

三、对数求导法 107

四、相关变化率 108

习题2-3 109

第四节 微分及其应用 110

一、微分的概念 110

二、微分的几何意义 113

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 114

四、微分的应用 117

习题2-4 120

第五节 导数在经济中的应用 122

一、边际的概念 122

二、弹性的概念 125

习题2-5 129

第三章 微分中值定理与导数的应用 130

第一节 微分中值定理 130

一、罗尔定理 130

二、拉格朗日中值定理 132

三、柯西中值定理 133

四、洛必达法则 134

习题3-1 139

第二节 导数的应用 141

一、函数的单调性 141

二、函数的极值 144

三、函数的最大值、最小值 149

习题3-2 152

第三节 曲线的凹凸性与函数图形的描绘 153

一、曲线的凹凸性与拐点 153

二、函数图形的描绘 156

习题3-3 160

第四节 曲率 161

一、弧微分 161

二、曲率及其计算公式 162

三、曲率圆与曲率半径 166

习题3-4 167

第五节 导数的其他应用 167

一、方程的近似解 167

二、函数极值在经济管理中的应用 171

习题3-5 174

第四章 不定积分 176

第一节 不定积分的概念与性质 176

一、原函数与不定积分的概念 176

二、基本积分表 180

三、不定积分的性质 182

习题4-1 186

第二节 换元积分法 187

一、第一类换元法 187

二、第二类换元法 195

习题4-2 200

第三节 分部积分法 202

习题4-3 208

第五章 定积分及其应用 209

第一节 定积分的概念与性质 209

一、引例 209

二、定积分的定义 211

三、定积分的性质 216

习题5-1 219

第二节 微积分基本公式 220

一、积分上限的函数及其导数 221

二、牛顿-莱布尼兹公式 223

习题5-2 228

第三节 定积分的换元法与分部积分法 229

一、定积分的换元法 230

二、定积分的分部积分法 235

习题5-3 238

第四节 广义积分 241

一、无穷限的广义积分 241

二、无界函数的广义积分 243

习题5-4 245

第五节 定积分在几何问题中的应用举例 246

一、定积分的元素法 246

二、平面图形的面积 247

三、体积 252

四、平面曲线的弧长 256

习题5-5 258

第六节 定积分在物理学与经济问题中的应用举例 261

一、变力沿直线所作的功 261

二、水压力 262

三、引力 263

四、经济问题 264

习题5-6 265

第六章 常微分方程 267

第一节 微分方程的基本概念 267

习题6-1 270

第二节 可分离变量的微分方程与齐次方程 271

一、可分离变量的微分方程 271

二、齐次方程 277

习题6-2 280

第三节 一阶线性微分方程 282

习题6-3 288

第四节 可降价的高阶微分方程 289

一、y(n)=f(x)型的微分方程 289

二、y″=f(x，y′)型的微分方程 291

三、y″=f(y，y′)型的微分方程 294

习题6-4 296

第五节 二阶线性微分方程 297

一、二阶线性微分方程举例 297

二、二阶线性微分方程解的结构 299

习题6-5 301

第六节 二阶常系数线性微分方程 302

一、二阶常系数齐次线性微分方程 302

二、二阶常系数非齐次线性微分方程 309

习题6-6 314

附录Ⅰ 基本初等函数的图形及其主要性质 316

附录Ⅱ 几种常用的曲线 319

习题答案 321