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第一章 函数、极限与连续 1

第一节 函数 1

一、区间、邻域 1

二、常量与变量 3

三、函数的概念 3

四、函数的几种性态 7

习题1-1 10

第二节 初等函数 13

一、反函数 13

二、基本初等函数 14

三、复合函数 14

四、初等函数 17

习题1-2 18

第三节 数列的极限 19

一、数列极限的定义 20

二、数列极限的性质 24

三、数列极限的两个存在准则 29

习题1-3 32

第四节 函数的极限 34

一、自变量x趋于无穷大时函数的极限 34

二、自变量x趋于有限值时函数的极限 36

三、函数极限的性质 40

习题1-4 44

第五节 两个重要极限及复合函数的极限运算法则 46

一、夹逼准则 46

二、两个重要极限 47

三、复合函数的极限运算法则 50

习题1-5 52

第六节 无穷小、无穷大 53

一、无穷小及其性质 53

二、无穷小的比较 54

三、无穷大 56

四、无穷小与无穷大的关系 57

习题1-6 59

第七节 函数的连续性 60

一、函数的连续与间断 60

二、连续函数及其性质 64

三、闭区间上连续函数的性质 66

习题1-7 68

第二章 一元函数微分学 71

第一节 导数的概念 71

一、导数概念的引出 71

二、导数的定义 73

三、求导举例及基本导数公式 76

习题2-1 82

第二节 求导法则 83

一、四则运算法则 83

二、反函数求导法则 87

三、复合函数求导法则 90

习题2-2 93

第三节 隐函数求导法、参数方程所确定的函数的导数 95

一、隐函数求导法 95

二、参数方程所确定的函数的导数 97

习题2-3 99

第四节 高阶导数与相关变化率 100

一、高阶导数 100

二、相关变化率 103

习题2-4 104

第五节 函数的微分及其在近似计算中的应用 105

一、微分的定义 106

二、微分公式与运算法则 107

三、微分在近似计算中的应用 110

习题2-5 112

第六节 微分中值定理 114

一、罗尔定理 114

二、拉格朗日中值定理 116

三、柯西中值定理 121

习题2-6 122

第七节 洛必达法则 123

习题2-7 127

第八节 泰勒公式 128

习题2-8 134

第九节 函数的单调性、极值与最值 136

一、函数的单调性 136

二、函数的极值 137

三、最值问题 140

习题2-9 143

第十节 曲线的凹凸性与函数图形的描绘 145

一、曲线的凹凸性 145

二、函数图形的描绘 148

习题2-10 150

第十一节 弧微分与曲率 151

一、弧微分 151

二、曲率 152

三、曲率圆与曲率半径 155

习题2-11 156

第十二节 方程的近似解 157

一、二分法 157

二、弦位法 157

三、牛顿切线法 159

习题2-12 160

第三章 一元函数积分学 161

第一节 不定积分的概念与性质 161

一、微分的逆问题 161

二、原函数与不定积分 162

三、基本积分公式 165

四、不定积分的性质 166

习题3-1 168

第二节 换元积分法 169

一、第一类换元法 169

二、第二类换元法 174

习题3-2 179

第三节 分部积分法 181

习题3-3 185

第四节 两类特殊类型函数的积分 185

一、有理函数的积分 185

二、三角函数有理式的积分 190

习题3-4 193

第五节 定积分的概念及性质 194

一、引例 194

二、定积分定义 198

三、定积分的性质 200

习题3-5 203

第六节 原函数存在性及牛顿-莱布尼兹公式 204

一、变上限定积分及其导数 204

二、牛顿-莱布尼兹公式 206

习题3-6 210

第七节 定积分的计算 212

一、定积分的换元积分法 212

二、定积分的分部积分法 217

三、定积分的近似计算 219

习题3-7 224

第八节 广义积分 226

一、无穷区间上的积分 226

二、无界函数的积分 228

习题3-8 231

第九节 定积分在几何方面的应用 231

一、定积分的元素法 232

二、定积分在几何方面的应用 234

习题3-9 243

第十节 定积分在物理学上的应用举例 244

一、变力沿直线所做的功 244

二、液体的压力 246

三、引力 247

四、电学上的应用 248

习题3-10 251

第四章 微分方程与数学建模初步 253

第一节 微分方程的基本概念 253

习题4-1 256

第二节 变量可分离方程 257

一、变量可分离方程 257

二、齐次方程 260

习题4-2 263

第三节 一阶线性微分方程 265

一、一阶线性微分方程 265

二、可化为一阶线性微分方程的两个类型 268

习题4-3 271

第四节 几种特殊的高阶方程 273

习题4-4 278

第五节 高阶线性微分方程解的结构理论 279

一、齐次线性方程解的结构理论 279

二、非齐次线性方程解的结构理论 280

习题4-5 281

第六节 常系数齐次线性微分方程 281

习题4-6 285

第七节 常系数非齐次线性微分方程 286

一、f(x)=P？(x)λr型 287

二、f(x)=eλrP？(xcosωx)+P？(x)sinωx］型 289

三、一类可化为二阶常系数线性方程的类型——欧拉方程 291

习题4-7 294

第八节 常系数线性微分方程组 296

一、消元法 296

二、待定系数法 298

三、首次积分法 301

习题4-8 305

第九节 数学建模初步 306

一、数学建模的基本概念 306

二、数学建模的一般步骤与方法 308

三、建模实例 310

习题4-9 315

附录Ⅰ 几种常用的曲线 316

附录Ⅱ 习题答案或提示 319