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目录 1

第1章　复变函数 1

1.1　复数 1

1.1.1　复数及其运算 1

1.1.2　复数球面 4

1.2　复变函数 4

1.2.1 复变函数 4

1.2.2　极限与连续 6

1.2.3　常见的几个复变函数 6

1.2.4　三角函数 7

1.2.5　双曲线函数 8

1.2.6　对数函数 8

1.2.7　任意复数为指数的幂函数的定义 8

1.3　解析函数 9

1.4.1　复变函数的积分 13

1.4　积分 13

1.4.2　柯西定理 15

1.5　泰勒级数和洛朗级数 20

1.5.1　泰勒级数 20

1.5.2　洛朗级数 22

1.6　留数 25

1.6.1 孤立奇点 25

1.6.2 留数 26

1.7　利用留数定理计算积分 29

1.7.1 ？R(cosθ,sinθ）dθ型的定积分 29

1.7.2 ？ Q(x)sin αxdx及？Q(x)cos αxdx型的积分 30

习题 34

第2章　数学物理方程 39

2.1　数学物理方程研究对象与方法论 39

2.1.1　具有普遍意义的一些物理现象（或物理过程） 39

2.1.2　数学物理方程的基本任务和方法 41

2.2.1 波动方程（Wave equations） 42

2.2　三类典型的偏微分方程 42

2.2.2 扩散方程（Diffusion equations） 44

2.2.3　稳态方程（Steady equations） 46

2.3　定解条件与定解问题的提法 47

2.3.1 定解条件 47

2.3.2　定解条件的形式和定解问题 47

2.4　定解问题的适定性 49

2.5　二阶线性偏微分方程及其分类 51

2.5.1　二阶偏微分方程的一般形式 51

2.5.2　特征方程与特征线 51

2.5.3　二阶线性偏微分方程的分类 52

2.6　分离变量法 53

2.6.1 分离变量法基本概念与叠加原理 53

2.6.2　有界弦自由振动的解及其物理意义 54

2.6.3　有界杆热传导方程的解——点源函数 57

2.6.4　试探解法（固有函数法） 60

2.6.5　边界条件的齐次化 65

2.7　行波法（波动方程的达朗贝尔法） 67

2.7.1 行波法的基本思想和初值问题提法 67

2.7.2　一维波动方程初值问题的解 69

2.7.3　一维非齐次波动方程初值问题的解 71

2.7.4　三维波动方程解的泊松公式（球面波） 73

2.7.5　二维波动方程解的泊松公式（柱面波） 76

2.8　求解稳态问题的格林函数法 77

2.8.1 稳态方程的定解问题与拉普拉斯方程的基本解 77

2.8.2　格林公式与调和函数的性质 78

2.8.3　格林函数 82

2.9　积分变换法 84

2.9.1　傅里叶变换及其性质 84

2.9.2　傅里叶变换法的应用 87

2.9.3　拉普拉斯变换简介 91

习题 92

参考文献 97