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第1章 函数和极限 1

1.1从自然数到复数 1

1.1.1实数 1

1.1.2复数及其运算 5

习题1-1 7

1.2函数的进一步知识 8

1.2.1三角函数的补充 8

1.2.2反三角函数 10

1.2.3一些函数及其图像 13

1.2.4初等函数 14

习题1-2 15

1.3数列的极限 16

1.3.1数列极限的引入 16

1.3.2数列极限的定义 17

1.3.3数列极限的存在性证明举例 18

习题1-3 20

1.4数列极限的性质和运算法则 21

1.4.1收敛数列的性质 21

1.4.2收敛数列的四则运算 22

1.4.3一个判定定理 23

习题1-4 24

1.5数列极限存在性的判定 25

1.5.1单调有界原理 25

1.5.2子列 27

1.5.3基本列和柯西收敛准则 28

习题1-5 30

1.6函数的极限 30

1.6.1函数极限 30

1.6.2左极限和右极限 33

1.6.3自变量趋于无穷大时函数的极限 34

1.6.4总结 35

习题1-6 36

1.7函数极限的性质 36

习题1-7 40

1.8函数极限和数列极限的联系 40

习题1-8 43

1.9无穷小和无穷大 43

1.9.1无穷小及其性质 43

1.9.2无穷小的比较 44

1.9.3无穷大 45

习题1-9 46

第2章 函数的连续性 47

2.1连续函数 47

2.1.1连续函数的定义 47

2.1.2间断点的类型 48

2.1.3初等函数的连续性 50

2.1.4总结 52

习题2-1 52

2.2闭区间上连续函数的性质 53

习题2-2 55

第3章 导数和微分 56

3.1导数 56

3.1.1几个不同问题的相似处理方法 56

3.1.2导数及其几何意义 57

3.1.3求导举例 58

3.1.4可导和连续的关系 59

习题3-1 60

3.2基本求导方法 60

3.2.1四则运算的求导 60

3.2.2反函数的求导 61

3.2.3复合函数求导 63

3.2.4总结 64

习题3-2 66

3.3高阶导数 66

习题3-3 68

3.4其他求导 69

3.4.1隐函数的求导 69

3.4.2对数求导 71

3.4.3参数方程求导 72

3.4.4复值函数求导 73

习题3-4 74

3.5微分 75

3.5.1从另外一个角度看导数 75

3.5.2微分和高阶微分 75

3.5.3微分的运算法则 77

习题3-5 78

第4章 微分中值定理和导数的应用 79

4.1微分中值定理 79

4.1.1函数的极值和罗尔定理 79

4.1.2拉格朗日中值定理和柯西中值定理 80

习题4-1 83

4.2洛必达法则 84

习题4-2 88

4.3泰勒公式 88

4.3.1运动学的一个例子 88

4.3.2泰勒公式 91

4.3.3几个常见函数的泰勒展开式 93

习题4-3 95

4.4函数的几何特性 95

4.4.1单调性 95

4.4.2函数的极值和最值 97

4.4.3函数的凹凸性和拐点 100

4.4.4渐近线 104

习题4-4 105

第5章 不定积分 107

5.1不定积分的基本概念 107

5.1.1不定积分的定义 107

5.1.2基本积分表 108

5.1.3不定积分的性质 108

习题5-1 110

5.2不定积分的换元积分法 110

5.2.1凑微分法 110

5.2.2第二类换元法 113

习题5-2 115

5.3分部积分法 116

习题5-3 119

5.4有理函数的积分 120

5.4.1有理函数的积分 120

5.4.2三角函数有理式的积分 121

5.4.3简单无理函数的积分 122

习题5-4 124

5.5积分表的使用 124

习题5-5 125

第6章 定积分 127

6.1定积分的定义 127

6.1.1定积分基本概念 127

6.1.2定积分的存在性和性质 128

习题6-1 132

6.2定积分的计算 133

6.2.1归结为数列的极限 133

6.2.2积分上限函数及其性质 134

习题6-2 136

6.3分部积分和换元 137

6.3.1分部积分公式 137

6.3.2定积分的变量代换 139

习题6-3 141

6.4反常积分介绍 141

6.4.1无限区间上的反常积分 142

6.4.2无界函数的反常积分 144

习题6-4 145

6.5定积分的简单应用 146

6.5.1在几何上的应用 146

6.5.2在物理上的应用 152

习题6-5 154

习题参考答案与提示 155

附录A积分表 165

附录B希腊字母表 175