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第1章 概述 1

1.1 关于数学文化 1

1.1.1 文化的定义 1

1.1.2 为什么说数学是一种文化 2

1.1.3 数学文化的含义 2

1.1.4 关于数学文化的学科体系 3

1.1.5 数学文化的存在价值 5

1.1.6 数学文化教育 5

1.2 数学的魅力 6

1.2.1 诱人的猜想 6

1.2.2 神奇的预言 11

1.2.3 美妙的和谐 12

1.2.4 惊人的简洁 15

1.3 简明数学发展史 17

1.3.1 数学起源时期（公元前6世纪以前） 17

1.3.2 初等数学时期（公元前6世纪—公元16世纪） 19

1.3.3 近代数学时期（17—18世纪） 26

1.3.4 现代数学时期（1820— ） 28

1.4 国际数学家大会和菲尔兹奖 31

1.4.1 国际数学家大会 31

1.4.2 数学家的最高荣誉——菲尔兹奖 33

第2章 中国古代的数学文化 38

2.1 算筹与筹算 38

2.2 九章算术 40

2.2.1 《九章算术》各章提要 40

2.2.2 几种算法的比较与分析 41

2.3 贾宪三角与增乘开方法 47

2.3.1 贾宪三角 47

2.3.2 增乘开方法 48

2.3.3 贾宪三角的一些趣味性质 50

2.4 “物不之其数”与中国剩余定理 51

2.4.1 “韩信点兵”的故事与“物不知其数”问题 51

2.4.2 中国剩余定理 51

2.4.3 中国剩余定理的应用 53

第3章 初等数学中的数学文化 55

3.1 从高次代数方程的根式解到群论 55

3.1.1 方程发展简史 55

3.1.2 拉格朗日的工作 57

3.1.3 群论的产生 59

3.2 斐波那契数列与黄金分割 61

3.2.1 兔子问题与斐波那契数列 61

3.2.2 黄金分割 64

3.2.3 黄金图形 65

3.2.4 建筑、雕塑、绘画中的黄金分割 67

3.2.5 音乐中的黄金分割 72

3.2.6 黄金分割与军事 72

3.2.7 黄金分割与优选法 74

3.3 连分数与历法 75

3.3.1 连分数 76

3.3.2 历法常识 80

3.4 幻方 85

3.4.1 幻方溯源 85

3.4.2 幻方 87

3.4.3 幻方的构造 88

3.4.4 幻方奇趣 93

第4章 变量数学中的数学文化 99

4.1 有限与无限的问题 99

4.1.1 数学中的“无限问题” 100

4.1.2 无限集的基数 101

4.1.3 集合基数的一些重要结论 106

4.1.4 有限与无限的区别和联系 108

4.1.5 潜无限与实无限 111

4.2 微积分的创立与发展 112

4.2.1 微积分的萌芽 112

4.2.2 微积分先驱者的工作 113

4.2.3 微积分的诞生 117

4.2.4 微积分的发展 121

4.3 变分法与泛函分析 124

4.3.1 变分问题举例 124

4.3.2 欧拉-拉格朗日方程简例 128

4.3.3 泛函分析简介 129

第5章 数学猜想、数学问题中的数学文化 131

5.1 哥德巴赫猜想 131

5.1.1 数论简介 131

5.1.2 两个有趣的问题 133

5.1.3 哥德巴赫猜想 136

5.2 从勾股定理到费马大数定理 141

5.2.1 勾股定理 141

5.2.2 费马大数定理 145

5.3 四色问题 150

5.4 希尔伯特和他的23个问题 152

5.4.1 希尔伯特的主要成果 152

5.4.2 跨世纪的23个问题 156

第6章 数学发展中的数学文化 161

6.1 历史上的三次数学危机 161

6.1.1 第一次数学危机 161

6.1.2 第二次数学危机 164

6.1.3 第三次数学危机 167

6.2 哥廷根学派的兴衰 171

第7章 现代数学中的数学文化 176

7.1 格尼斯堡七桥问题与拓扑学 176

7.1.1 从格尼斯堡七桥问题谈起 176

7.1.2 浅谈拓扑学 179

7.2 海岸线的长度与分形几何学 186

7.2.1 海岸线的长度 187

7.2.2 分形几何 188

7.3 对称与群 195

7.3.1 对称的美及其数学本质 196

7.3.2 群的概念 202

7.4 欧几里得几何与非欧几何 205

7.4.1 欧几里得几何 205

7.4.2 非欧几何 209

7.5 随机数学 215

7.5.1 概率论与随机过程 215

7.5.2 统计学 221

7.6 运筹学 224

7.6.1 运筹学的起源与发展 225

7.6.2 运筹学的性质和特点 228

7.6.3 运筹学各分支简介 230

7.6.4 古代中国的运筹学故事 233

参考文献 238