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第1章 Holder空间和Sobolev空间 1

1.1 一些记号和初等公式 1

习题1.1 6

1.2 光滑紧支函数及其应用 6

习题1.2 14

1.3 Holder空间Cμ（？） 15

习题1.3 22

1.4 Holder空间Cm，μ （？） 23

习题1.4 27

1.5 Lebesgue空间Lp（Ω） 28

1.5.1 空间Lp（Ω）的定义 28

1.5.2 常用的积分不等式 28

1.5.3 空间Lp （Ω） （1≤p＜∞）的性质 32

1.5.4 空间Lp（Ω）（1≤p＜∞）中的相对紧集和弱相对紧集 35

习题1.5 39

1.6 弱导数和弱可微函数 40

习题1.6 47

1.7 Sobolev空间Wm，p（Ω） 47

习题1.7 52

1.8 Sobolev嵌入定理 53

习题1.8 59

1.9 Morrey嵌入定理 61

习题1.9 64

1.10 Kondrachov-Rellich嵌入定理 65

习题1.10 69

1.11 高阶Gagliardo-Nirenberg不等式 70

习题1.11 74

1.12 迹定理 76

1.12.1 函数在超平面上的迹 76

1.12.2 超曲面上的Holder空间和Sobolev空间 79

1.12.3 函数在区域边界上的迹 81

1.12.4 Wm0，p（Ω）的等价刻画 83

1.12.5 迹定理简介 84

习题1.12 86

第2章 广义函数和Fourier变换 87

2.1 广义函数 87

习题2.1 94

2.2 紧支广函 96

习题2.2 102

2.3 缓增广函 103

习题2.3 107

2.4 Fourier变换 108

习题2.4 115

2.5 Riesz-Tborin插值定理和Hausdorff-Young不等式的证明 116

习题2.5 119

2.6 Paley-Wiener-Schwartz定理 119

习题2.6 123

2.7 卷积 124

习题2.7 129

2.8 Sobolev空间Hs （Rn） 130

习题2.8 138

2.9 Littlewood-Paley分解 139

习题29 151

2.10 奇异积分算子 152

2.10.1 Marcinkiewicz插值定理 154

2.10.2 定理2.10.5 的证明 157

2.10.3 定理2.10.6 的证明 162

2.10.4 Riesz变换和绝对导数 163

2.10.5 Hardy-Littlewood-Sobolev不等式的证明 165

习题2.10 167

第3章 二阶线性椭圆型方程 169

3.1 基本概念 169

3.1.1 椭圆型的定义 169

3.1.2 经典解、强解和弱解 171

3.1.3 边值问题 173

习题3.1 176

3.2 弱解的存在性 176

习题3.2 183

3.3 解的正则性 184

3.3.1 弱导数与差商的关系 185

3.3.2 解的内正则性 187

3.3.3 解的边界正则性 191

习题3.3 197

3.4 特征值问题 197

习题3.4 206

3.5 极值原理 207

3.5.1 经典解的极值原理 208

3.5.2 弱解的极值原理 212

3.5.3 主特征值和相应特征函数的性质 217

习题3.5 220

3.6 Lp估计 221

3.6.1 Lp内估计 221

3.6.2 Lp全局估计 224

3.6.3 两个应用 227

习题36 229

3.7 Lp可解性 229

3.7.1 解的正则性 229

3.7.2 解的存在性 233

习题3.7 235

3.8 调和函数 236

习题3.8 241

3.9 Cμ理论 242

习题3.9 249

第4章 二阶线性发展型方程 250

4.1 基本概念 250

习题4.1 254

4.2 向量值函数 254

4.2.1 向量值函数的连续性、导数和Riemann积分 254

4.2.2 向量值函数空间Cμ（I， X）和Cm，μ（I， X） 256

4.2.3 向量值函数的弱可测和强可测 257

4.2.4 Pettis积分和Bochner积分 258

4.2.5 函数空间Lp（I， X）和Wm，p（I，X） 259

习题4.2 266

4.3 Fourier方法 267

4.3.1 抛物型方程 267

4.3.2 双曲型方程 271

4.3.3 Schrodinger型方程 273

习题4.3 274

4.4 Galerkin方法 274

4.4.1 抛物型方程 275

4.4.2 双曲型方程 280

4.4.3 Schrodinger型方程 286

习题4.4 290

4.5 解的正则性 291

4.5.1 抛物型方程 291

4.5.2 双曲型方程 298

4.5.3 Schrodinger型方程 302

习题4.5 303

4.6 强连续半群 304

4.6.1 强连续半群的定义和基本性质 305

4.6.2 Hille-Yosida定理 309

4.6.3 摄动定理 316

4.6.4 对初值问题的应用 317

习题4.6 323

4.7 解析半群 324

4.7.1 扇形算子和解析半群 324

4.7.2 对初值问题的应用 333

4.7.3 解的渐近性态 341

习题4.7 344

4.8 发展型方程的半群方法 345

4.8.1 抛物型方程 345

4.8.2 双曲型方程 347

4.8.3 Schrodinger型方程 350

习题4.8 353

4.9 抛物型方程的Cμ理论和Lp理论 353

4.9.1 R × Rn上各向异性的伸缩和相关问题 354

4.9.2 R × Rn上各向异齐次的奇异积分算子和各向异性的Mihlin乘子 357

4.9.3 热传导方程的先验估计 363

4.9.4 抛物型方程的Cμ理论和Lp理论 374

4.9.5 抛物型方程的极值原理 379

习题4.9 381

4.10 热传导方程的初值问题 382

习题4.10 394

4.11 波动方程的初值问题 396

习题4.11 414

4.12 Schrodinger方程的初值问题 414

习题4.12 421

第5章 线性偏微分方程的一般理论 422

5.1 无解的线性偏微分方程 422

习题5.1 432

5.2 可解的线性偏微分算子 433

5.2.1 常系数偏微分算子的基本解 433

5.2.2 常系数偏微分算子的强弱比较 438

5.2.3 定强偏微分算子的局部可解性 445

5.2.4 H主型算子的局部可解性 448

5.2.5 NTEBF定理简介 453

习题5.2 456

5.3 亚椭圆型偏微分算子 457

习题53 466

5.4 拟微分算子的基本概念 467

5.4.1 拟微分算子的定义 467

5.4.2 核函数 471

5.4.3 恰当支拟微分算子 477

5.4.4 符征的渐近展开 479

习题5.4 485

5.5 拟微分算子的运算和性质 485

5.5.1 转置、共轭和复合 486

5.5.2 亚椭圆型算子的拟逆 488

5.5.3 拟微分算子的Hs有界性 491

5.5.4 Garding不等式 494

习题5.5 496

5.6 微局部分析和奇性传播定理 497

5.6.1 问题的提出 497

5.6.2 波前集的定义与性质 501

5.6.3 奇性传播定理 508

习题5.6 516

5.7 高阶双曲型方程的初值问题 517

习题5.7 527

5.8 高阶椭圆型方程的边值问题 528

5.8.1 半空间上的Dirichlet边值问题 528

5.8.2 有界区域上的Dirichlet边值问题 539

习题5.8 546

参考文献 547

索引 552