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第一章 复变函数论基础 1

1-1复数 1

1-2复变函数 9

1-3复变函数的导数与解析性 保角映射 19

1-4复变函数的积分 柯西定理 26

1-5柯西公式 33

第二章 复变函数的级数 41

2-1级数的基本性质 41

2-2复变函数在圆形解析区域中的幂级数展开 泰勒级数 鞍点 48

2-3复变函数在环形解析区域中的幂级数展开 洛朗级数 54

第三章 解析延拓与孤立奇点 62

3-1单值函数的孤立奇点 62

3-2解析延拓 解析函数与全纯函数 67

3-3Γ函数 71

3-4函数的渐近表示 最陡下降法 73

3-5多值函数 78

3-6二维调和函数与平面场 保角变换法 89

第四章 留数定理及其应用 102

4-1留数定理 102

4-2利用留数定理计算积分 108

第五章 数学物理方程和定解条件的导出 126

5-1波动方程的定解问题 126

5-2热传导方程的定解问题 133

5-3方程的分类 定解问题的适定性 138

5-4双曲型方程的变形 行波法 140

第六章 分离变量法 149

6-1直角坐标系中的分离变量法 149

6-2曲线坐标系中的分离变量法 158

6-3非齐次方程与非齐次边界条件 170

6-4常微分方程的本征值问题 175

第七章 二阶线性常微分方程 184

7-1二阶线性常微分方程解的一般性质 184

7-2常点邻域内的幂级数解法 186

7-3正则奇点邻域内的幂级数解法 189

7-4常微分方程的不变式 193

7-5二阶线性常微分方程的一般讨论 198

第八章 球函数 210

8-1勒让德多项式 210

8-2连带勒让德函数 222

8-3球函数 226

第九章 柱函数 233

9-1贝塞尔方程的解 233

9-2含贝塞尔方程的本征值问题 239

9-3球贝塞尔函数 247

9-4双曲贝塞尔函数 251

第十章 积分变换法 255

10-1傅里叶积分变换 255

10-2拉普拉斯变换 270

10-3小波变换 294

第十一章 格林函数法 306

11-1δ函数 306

11-2稳定场方程的格林函数 322

11-3热传导方程的格林函数 336

11-4波动方程的基本解 推迟势与超前势 342

11-5弦振动方程的格林函数 冲量法 349

第十二章 非线性方程的单孤子解 352

12-1 KdV方程 353

12-2正弦-戈尔登方程 355

12-3非线性薛定谔方程 358

12-4双势阱的势垒隧穿 瞬子 360

12-5拓扑与非拓扑孤子 强子的孤子口袋模型 362

第十三章 泛函方法 365

13-1导出泛函的几个例子 365

13-2泛函的泰勒展开 变分与变分导数 368

13-3泛函的极值问题 370

13-4泛函积分 376

习题答案 381