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第1章 基本知识 1

1.1 Galois域GF(p) 1

1.1.1 Galois域GF（p）、特征数p 1

1.1.2 Galois域GF（p）的代数扩域F 2

1.2 局部域Kq的结构 4

1.2.1 局部域的定义 4

1.2.2 局部域Kq的赋值结构 5

1.2.3 局部域Kq上的Haar测度与Haar积分 6

1.2.4 局部域Kq中的重要子集 7

1.2.5 局部域Kq的邻域基 8

1.2.6 局部域Kq中元的表示与运算 9

1.2.7 局部域Kp中球的重要性质 12

1.2.8 局部域Kp的序结构 13

1.2.9 局部域Kp与欧氏空间R的关系 15

第2章 局部域Kp的特征群Γp 17

2.1 局部紧群的特征群 17

2.1.1 群的特征 17

2.1.2 局部紧群的特征 17

2.1.3 Pontryagin对偶定理 18

2.1.4 例 18

2.2 Kp的特征群Γp 21

2.2.1 Γp的性质 21

2.2.2 Kp为p级数域Sp的情形 24

2.2.3 Kp为p进数域Ap的情形 26

2.3 局部域Kp中的几个公式 29

2.3.1 Kp中重要子集的Haar测度 29

2.3.2 Kp中关于特征的积分 30

2.3.3 Kp中几个函数的积分 32

第3章 局部域Kp上的调和分析 35

3.1 局部域Kp上的Fourier分析 35

3.1.1 L1理论 35

3.1.2 L2理论 53

3.1.3 Lr理论 58

3.1.4 分布理论 61

3.2 局部域Kp上的拟微分算子 71

3.2.1 局部域上的象征类Sαρδ(Kp)≡Sαρδ(Kp×Γp) 71

3.2.2 局部域上的拟微分算子Tσ 74

3.3 局部域Kp上的p型导数与p型积分 76

3.3.1 局部域Kp上函数的p型导数与p型积分 76

3.3.2 S（Kp）函数的p型导数与p型积分的性质 77

3.3.3 分布T∈S（Kp）的p型导数与p型积分 79

3.3.4 局部域上微积分建立的历史回顾 81

3.4 局部域Kp上的算子与函数逼近理论 87

3.4.1 局部域Kp上的算子理论 87

3.4.2 局部域Kp上的函数逼近理论 90

第4章 局部域Kp上的函数空间 112

4.1 局部域Kp上的B型空间、F型空间 112

4.1.1 B型空间、F型空间 112

4.1.2 B型空间与F型空间的特例 117

4.1.3 局部域上的H？lder型空间 118

4.1.4 局部域上的Lebesgue型空间、Sobolev型空间 124

4.2 局部域Kp上的Lipschitz类 131

4.2.1 局部域上的Lipschitz类 131

4.2.2 欧氏空间上的函数空间链 136

4.2.3 局部域Kp的情形 140

4.2.4 欧氏空间分析与局部域分析比较 142

4.3 局部域Kp上的分形空间 145

4.3.1 Kp上的分形空间 145

4.3.2 Kp上分形空间（K(Kp),h）的完备性 147

4.3.3 Kp中几种常用的变换 153

第5章 局部域Kp上的分形分析 165

5.1 局部域Kp上的分形维数 165

5.1.1 Hausdorff测试与维数 165

5.1.2 盒维数 171

5.1.3 填充测度与维数 175

5.2 局部域Kp中集合维数的分析表示 179

5.2.1 局部域中的Borel可测集、Borel测度 179

5.2.2 分布维数 180

5.2.3 Fourier维数 188

5.3 局部域Kp上p型微积分与分形维数 190

5.3.1 Kp的结构、Cantor型三分集、Cantor型三分函数 190

5.3.2 K3中的Cantor型三分函数的p型导数与积分 194

5.3.3 Kp上的Weierstrass型函数的p型导数与积分 203

5.3.4 Kp上的第二型Weierstrass型函数的p型导数与积分 209

第6章 局部域Kp上的分形PDE 218

6.1 特殊例子 218

6.1.1 经典二维波动方程的分形边界问题 218

6.1.2 p型二维波动方程的分形边界问题 229

6.2 局部域Kp上分形PDE的一般理论 239

6.2.1 拟微分算子Ta 239

6.2.2 局部域上分形PDE的进一步研究 253

第7章 局部域分析与分形分析在临床医学上的应用 255

7.1 肝癌恶性程度的判定 255

7.1.1 肝癌的肆虐、解决的途径 255

7.1.2 肝癌研究中的主要手段 257

7.2 肝癌恶性程度研究的实例 259

7.2.1 在肝癌患者的影像学资料中提取数据 259

7.2.2 提取数据的数学处理 263

7.2.3 分形维数的计算 270

7.2.4 分析多例病患资料得出规律，归纳得到数学模型 273

7.2.5 肝癌研究中的其他问题 273

参考文献 274

索引 282

《现代数学基础丛书》已出版书目 286