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PART 1单元微积分学 1

第0章 导论——数系和数系的扩张 1

0.1自然数系 3

0.2整数数系 9

0.3有理数系 12

0.4实数系 14

0.5复数系 16

第1章 实数系和函数的连续性 19

1.1实数系的连续性 20

1.2连续函数的基本概念 24

1.3多项式函数 34

1.3.1多项式的唯一性定理与插值公式 34

1.3.2单元多项式的除法与辗转相除求公因式 39

1.3.3 Sturm定理 42

1.3.4代数基本定理 45

1.4例题与习题 54

第2章 微积分 59

2.1变率与微分 60

2.2总和与积分 72

2.3微积分基本定理与均值定理 79

2.4例题与习题 87

第3章 指数函数及对数函数 101

3.1指数、对数函数的定义与基本性质 102

3.2指数函数与对数函数的微分 109

3.3自然对数表的计算法 114

3.4复变数指数函数和三角函数 116

3.5复利与指数函数 119

第4章 初等函数及其应用举例 125

4.1多项式函数 126

4.1.1 n阶密切多项曲线 127

4.1.2高阶局部逼近与不定式之极限 130

4.1.3插值问题的推广 132

4.2三角函数与反三角函数 134

4.2.1圆的对称性与正弦、馀弦函数的基本性质 135

4.2.2三角定律与极坐标 137

4.2.3等速圆周运动与正弦、馀弦的微分 138

4.2.4等周问题（Isoperimetric Problem） 140

4.2.5 Kepler行星运行三定律及其数理分析 147

4.2.6三角函数的积分计算 153

4.2.7反三角函数及π的近似值计算 154

4.3常系数常微分方程 159

4.3.1算子符号 159

4.3.2 p（D） =（D-λ）k的情形，λ？C 161

4.3.3 p（D）是一般的情形 163

4.3.4 p（D）y=g（x）的解法 166

第5章 欧氏几何、球面几何和非欧几何的统一理论 169

5.1非欧几何的发现过程及其历史意义 171

5.2发现非欧几何学的思路与突破点 173

5.3欧氏、球面与非欧三角定律的统一理论 177

5.4旋转面的解析几何 186

5.5旋转面的Gauss曲率和Gauss-Bonnet公式 202

5.6结语 214

5.7思考题与习题 216

PART 2多元微积分学 223

第6章 多元函数的连续性与微分 223

6.1多元函数的连续性 224

6.2多元函数的微分 230

第7章 多元多关系的微分 249

7.1隐函数定理 250

7.2坐标变换 257

7.3极大、极小的微分条件式 260

第8章 高维勾股定理与Grassmann代数 267

8.1向量代数与平行体的有向体积 268

8.1.1平面的定向与平行四边形的有向面积 268

8.1.2三维空间的定向和平行六面体的有向体积 270

8.2向量内积与勾股定理的高维推广 275

8.3格氏代数（Grassmann Algebra） 286

第9章 外微分与多元积分 293

9.1多元函数的多重积分 294

9.1.1多重积分的定义 294

9.1.2多重积分与坐标变换 300

9.2线积分、面积分及其高维推广 307

9.2.1线积分（Line Integral） 308

9.2.2曲面积分 310

9.2.3例题与习题 313

9.3外微分和微积分基本定理的高维推广 329

9.3.1外微分和广义Stoke’s定理 340

9.3.2例题与习题 345