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第六章 多元函数微分学 1

第一节 空间解析几何基础 1

一、空间直角坐标系 1

二、两点间的距离 3

三、向量的坐标表示 3

四、空间平面与直线 6

五、曲面及其方程 9

六、常见的二次曲面 13

七、空间曲线及其方程 17

习题6-1 18

第二节 多元函数的概念 19

一、平面点集 19

二、多元函数的定义 20

三、二元函数的定义域 22

习题6-2 23

第三节 二元函数的极限与连续 24

一、二元函数的极限 24

二、二元函数的连续性 28

三、有界闭区域上连续函数的性质 31

习题6-3 31

第四节 偏导数 32

一、偏导数的概念 32

二、偏导数的计算 34

三、偏导数的几何意义 36

四、二阶偏导数 37

五、多元经济问题中的偏弹性 39

习题6-4 40

第五节 全微分 42

一、二元函数的全微分 42

二、可微的条件 43

三、全微分在近似计算中的应用 46

习题6-5 47

第六节 复合函数微分法 48

一、复合函数的偏导数 49

二、全导数 51

三、复合函数的二阶偏导数 53

四、复合函数的全微分 55

习题6-6 56

第七节 隐函数微分法 57

一、一元隐函数微分法 57

二、二元隐函数微分法 58

习题6-7 62

第六章总练习题 62

第七章 偏导数在经济问题中的应用 64

第一节 一些常见的多元经济函数 64

一、需求函数与供给函数 64

二、总成本函数、总收入函数和总利润函数 65

三、效用函数 66

四、生产函数 66

习题7-1 68

第二节 多元经济函数的边际函数与偏弹性 68

一、多元经济函数的边际函数 68

二、偏弹性 72

三、生产力弹性 76

习题7-2 77

第三节 多元函数的极值 78

一、二元函数的极值 78

二、二元函数的最大值与最小值 80

三、条件极值与拉格朗日乘数法 82

习题7-3 85

第四节 条件极值在优化理论中的应用 86

一、最大收益与最大利润 86

二、最优广告投入 89

三、最佳消费组合 90

四、最大产出 92

习题7-4 93

考研试题选讲（六、七） 94

第八章 二重积分 98

第一节 二重积分的概念与性质 98

一、问题的提出 98

二、二重积分的定义 100

三、二重积分的性质 101

习题8-1 102

第二节 直角坐标系中二重积分的计算 103

一、平面区域的分类 103

二、x-型区域与y-型区域上的二重积分的计算 105

习题8-2 112

第三节 二重积分的极坐标变换 114

一、二重积分的极坐标变换公式 114

二、极坐标系中二重积分的计算 115

习题8-3 119

第四节 无界区域上的二重积分 121

习题8-4 123

第八章总练习题 123

考研试题选讲（八） 124

第九章 无穷级数 129

第一节 常数项级数的概念 129

一、问题的提出 129

二、常数项级数的概念 130

三、收敛级数的基本性质 132

四、数列收敛的必要条件 134

习题9-1 135

第二节 常数项级数的审敛法 136

一、正项级数及其审敛法 136

二、交错项级数及其审敛法 143

三、绝对收敛与条件收敛 145

习题9-2 147

第三节 幂级数 149

一、函数项级数的基本概念 149

二、幂级数及其收敛性 150

三、幂级数的运算 155

习题9-3 158

第四节 函数展开成幂级数 159

一、泰勒级数 159

二、函数展开成幂级数 163

习题9-4 168

第九章总练习题 169

考研试题选讲（九） 171

第十章 常微分方程与差分方程 173

第一节 常微分方程的基本概念 173

一、问题的提出 173

二、微分方程的定义 175

三、方程的解及其几何意义 175

习题10-1 177

第二节 分离变量法 178

一、变量可分离的微分方程 178

二、齐次方程 182

三、变量代换法 185

习题10-2 186

第三节 一阶线性微分方程 188

一、齐次线性微分方程 188

二、非齐次线性微分方程 189

习题10-3 193

第四节 二阶线性微分方程解的结构 194

一、二阶齐次线性微分方程解的结构 194

二、二阶非齐次线性微分方程解的结构 196

习题10-4 197

第五节 二阶常系数齐次微分方程的解法 198

习题10-5 201

第六节 二阶常系数非齐次线性微分方程 202

习题10-6 208

第七节 差分方程 209

一、差分的概念与性质 209

二、差分方程的概念 210

三、一阶常系数线性差分方程 211

习题10-7 215

第十章总练习题 216

考研试题选讲（十） 217

附录 全国硕士研究生入学统一考试数学三考试大纲 221

习题答案 228