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第1章 函数、极限与连续 1

1.1 函数 1

1.1.1 集合 1

1.1.2 映射 4

1.1.3 函数 6

1.1.4 初等函数 10

习题1.1 16

1.2 数列的极限 17

1.2.1 数列极限的定义 17

1.2.2 收敛数列的性质 21

1.2.3 数列极限存在的准则 23

习题1.2 25

1.3 函数的极限 26

1.3.1 函数极限的定义 26

1.3.2 函数极限的性质 31

习题1.3 32

1.4 极限运算 32

1.4.1 极限四则运算 32

1.4.2 两个重要极限 35

1.4.3 无穷小的比较 37

习题1.4 43

1.5 函数的连续性 44

1.5.1 函数的连续性 45

1.5.2 初等函数的连续性 48

1.5.3 闭区间上连续函数的性质 52

习题1.5 53

综合习题1 54

第2章 导数与微分 58

2.1 导数的概念 58

2.1.1 切线与速度 58

2.1.2 导数的定义 59

2.1.3 求导举例 61

2.1.4 可导与连续 63

习题2.1 65

2.2 求导法则 66

2.2.1 导数的四则运算法则 66

2.2.2 反函数的求导法则 69

2.2.3 复合函数的求导法则 71

2.2.4 高阶导数 74

2.2.5 隐函数的求导法则 78

2.2.6 由参数方程所确定函数的求导法则 82

习题2.2 84

2.3 微分及其应用 86

2.3.1 微分的定义 86

2.3.2 函数可微的条件 87

2.3.3 微分的运算 89

2.3.4 微分在近似计算中的应用 91

习题2.3 92

综合习题2 93

第3章 导数的应用 97

3.1 微分中值定理 97

3.1.1 罗尔（Rolle）定理 97

3.1.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理 99

3.1.3 柯西（Cauchy）中值定理 102

习题3.1 103

3.2 洛必达（L'Hospital）法则 104

3.2.1 0/0型 104

3.2.2 ∞／∞型 106

3.2.3 其他型的未定式（0·∞，∞—∞，00，1∞，∞0） 107

习题3.2 109

3.3 泰勒（Taylor）公式 109

3.3.1 泰勒公式 109

3.3.2 常用的几个展开式 111

习题3.3 114

3.4 函数的极值与最值 114

3.4.1 函数单调性的判定法 114

3.4.2 函数的极值 118

3.4.3 函数的最值及其应用 121

习题3.4 125

3.5 函数图形的描绘 126

3.5.1 曲线的凹凸与拐点 126

3.5.2 曲线的渐近线 129

3.5.3 函数图形的描绘 131

习题3.5 134

3.6 曲率 135

3.6.1 弧微分 135

3.6.2 曲率的概念及其计算公式 136

3.6.3 曲率圆与曲率半径 139

习题3.6 140

综合习题3 140

第4章 不定积分 143

4.1 不定积分的概念与性质 143

4.1.1 原函数与不定积分的概念 143

4.1.2 不定积分的性质 145

4.1.3 基本积分公式 146

习题4.1 149

4.2 换元积分法 150

4.2.1 第一类换元积分法（凑微分法） 150

4.2.2 第二类换元积分法 154

习题4.2 158

4.3 分部积分法 159

习题4.3 162

4.4 几种特殊类型函数的不定积分 162

4.4.1 有理函数的不定积分 162

4.4.2 三角函数有理式的积分 166

4.4.3 简单无理函数的积分 167

习题4.4 168

综合习题4 168

第5章 定积分及其应用 172

5.1 定积分的概念与性质 172

5.1.1 面积与路程 172

5.1.2 定积分的定义 174

5.1.3 定积分的性质 176

习题5.1 180

5.2 微积分基本公式 181

5.2.1 积分上限函数 181

5.2.2 牛顿-莱布尼茨公式 184

习题5.2 187

5.3 定积分的计算 188

5.3.1 换元积分法 188

5.3.2 分部积分法 191

习题5.3 193

5.4 定积分的几何应用 194

5.4.1 定积分的微元法 194

5.4.2 平面图形的面积 195

5.4.3 体积 201

5.4.4 平面曲线的弧长 204

习题5.4 207

5.5 定积分在工程技术上的应用 208

5.5.1 变力做功 208

5.5.2 流体的压力 209

5.5.3 引力 210

习题5.5 211

5.6 广义积分与Γ函数 212

5.6.1 无穷限的广义积分 212

5.6.2 无界函数的广义积分 214

5.6.3 Γ函数 215

习题5.6 216

综合习题5 216

附录 221

附录A 二阶和三阶行列式简介 221

附录B 常用曲线方程与图像 222

附录C 积分表 224

附录D 数学建模 232

附录E 数学实验 249

参考答案 273

参考文献 292