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第1章 预备知识 1

1.1 概率论的基本概念 1

1.1.1 随机变量 1

1.1.2 随机向量 9

1.1.3 独立与相关 14

1.2 随机过程 18

1.3 布朗运动 28

1.3.1 定义 28

1.3.2 由布朗运动导出的过程 34

1.3.3 布朗运动样本轨道的模拟 38

1.4 条件期望 50

1.4.1 离散条件下的条件期望 50

1.4.2 关于σ域 55

1.4.3 一般的条件期望 60

1.4.4 条件期望的运算法则 62

1.4.5 条件期望的投影性质 67

1.5 鞅 70

1.5.1 定义性质 70

1.5.2 例子 74

1.5.3 用公平赌博来解释鞅的概念 77

第2章 随机积分 78

2.1 Riemann和Riemann-Stieltjes积分 78

2.1.1 一般的Riemann积分 78

2.1.2 Riemann-Stieltjes积分 82

2.2 It？积分 86

2.2.1 一个启发性的例子 86

2.2.2 简单过程的It？随机积分 89

2.2.3 一般的It？随机积分 95

2.3 It？引理 101

2.3.1 经典的微分链式法则 101

2.3.2 It？引理的简单形式 102

2.3.3 It？引理的推广 104

2.4 Stratonovich和其他积分 110

第3章 随机微分方程 117

3.1 确定性微分方程 117

3.2 It？随机微分方程 120

3.2.1 什么是随机微分方程 120

3.2.2 用It？引理求解随机微分方程 123

3.2.3 用Stratonovich分析求解It？微分方程 130

3.3 一般线性随机微分方程 135

3.3.1 带加性噪声的线性方程 135

3.3.2 带乘性噪声的齐次方程 137

3.3.3 一般情形 139

3.3.4 解的期望和方差函数 139

3.4 数值解 141

3.4.1 Euler估计 141

3.4.2 Milstein估计 145

第4章 随机分析在金融领域的应用 149

4.1 Black-Scholes期权定价公式 149

4.1.1 金融知识简介 149

4.1.2 什么是期权？ 151

4.1.3 期权定价的数学公式 153

4.1.4 Black-Scholes期权定价公式 155

4.2 一个有用的技巧 测度变换 158

4.2.1 什么是基础测度变换？ 158

4.2.2 用测度变换演绎Black-Scholes公式 161

附录 166

A.1 收敛的模式 166

A.2 不等式 168

A.3 布朗运动样本轨道的不可微性和非有界变差性质 169

A.4 一般It？随机积分存在性的证明 170

A.5 Radon-Nikodym定理 173

A.6 条件期望的存在唯一性 174

参考文献 176

索引 180

符号与缩写 188