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第1章 基本概念与例子 1

第1讲 1

a.三股绳索：分形、动力学与混沌 1

b.分形：错综复杂的几何学与自相似性 2

c.动力学：运动（或不动）的事物 6

第2讲 9

a.动力系统：术语与记号 9

b.种群模型与logistic映射 12

第3讲 17

a.具有混沌性态的线性映射与Cantor三分集 17

b.Cantor集与符号动力学 22

第4讲 26

a.一些点集拓扑知识 26

b.度量空间 28

c.Lebesgue测度 31

第5讲 34

a.符号空间与Cantor集的拓扑结构 34

b.编码映射没有做的事 37

c.Cantor集的几何 39

第6讲 42

a.更一般的构造 42

b.它使一切有意义 46

第2章 维数理论基础 49

第7讲 49

a.Hausdorff维数的定义 49

b.Cantor三分集的Hausdorff维数 54

c.Hausdorff维数的其他定义 56

第8讲 58

a.Hausdorff维数的性质 58

b.拓扑维数 62

第9讲 63

a.Hausdorff维数与拓扑维数的比较 63

b.度量与拓扑 66

c.拓扑与维数 69

第10讲 70

a.Cantor集的Hausdorff维数 70

b.Moran定理 71

c.Moran构造 76

d.动力学构造与叠函数系 77

第11讲 79

a.盒维数：测量维数的另一个方法 79

b.盒维数的性质 82

第12讲 85

a.各种不同维数之间的关系 85

b.一个反例 89

c.稳定性与次可加性 93

第3章 测度：定义与例子 95

第13讲 95

a.一点测度理论 95

b.Lebesgue测度与外测度 98

c.Hausdorff测度 102

第14讲 103

a.选择一个“好”的外测度 103

b.符号空间上的Bernoulli测度 104

c.Cantor集上的测度 106

d.Markov测度 107

第15讲 110

a.测度的支集 110

b.有限型子移位：一维Markov映射 113

第4章 测度与维数 115

第16讲 115

a.一致质量分布原理：用测度确定维数 115

b.点态维数和非一致质量分布原理 117

第17讲 120

a.可变的点态维数 120

b.正合维数测度的Hausdorff维数 127

c.Hausdorff测度的点态维数 129

第18讲 130

a.局部熵 130

b.Kolmogorov-Sinai熵 134

c.拓扑熵 135

第19讲 138

a.Markov测度的熵 138

b.Markov构造的Hausdorff维数 141

第20讲 143

a.Lyapunov指数 143

b.分形中的分形 147

第5章 离散时间系统：FitzHugh-Nagumo模型 151

第21讲 151

a.FitzHugh-Nagumo神经元模型 151

b.数值研究：从连续到离散 155

第22讲 158

a.研究局部映射 158

b.一般映射不动点的稳定性 160

第23讲 165

a.FitzHugh-Nagumo模型不动点的稳定性 165

b.周期点 167

第24讲 171

a.越过倍周期：掉入兔穴 171

b.成为一维映射 174

第6章 Logistic映射的分支图 179

第25讲 179

a.Logistic映射的分支 179

b.分支的分类 182

第26讲 185

a.倍周期级联 185

b.在分支图末端的混沌 186

c.中心不能把持：跑向无穷远 189

第27讲 191

a.寻找相空间的有关部分：ω极限集 191

b.分支图中的稳定性窗口 193

c.稳定性窗口外的混沌 194

第7章 混沌吸引子与持久性混沌 197

第28讲 197

a.捕获区域 197

b.吸引子 200

第29讲 203

a.Smale-Williams螺线管 203

b.一致双曲性 206

c.符号动力学 208

第30讲 212

a.直积的维数 212

b.量化吸引子 215

c.高维中的Lyapunov指数 216

d.非共形情形 218

e.FitzHugh-Nagumo映射的吸引子 219

第8章 马蹄与间歇性混沌 221

第31讲 221

a.Smale马蹄：不是捕获区域 221

b.马蹄的Hausdorff维数 225

c.Smale马蹄上的符号动力学 226

第32讲 229

a.主题的变更：其他马蹄 229

b.间歇性混沌与持久性混沌 233

c.同宿轨道与马蹄 234

第9章 连续时间系统：Lorenz模型 239

第33讲 239

a.连续时间系统：基本概念 239

b.连续时间系统的不动点 242

第34讲 244

a.摆 244

b.二维系统 248

第35讲 251

a.Lorenz方程 251

b.超出了线性思维 253

c.研究Lorenz系统 253

第36讲 258

a.通向Poincaré映射 258

b.Lorenz系统中的马蹄 261

第37讲 264

a.Lorenz吸引子 264

b.几何Lorenz吸引子 265

c.几何Lorenz吸引子的维数 268

d.回到和离开Lorenz吸引子 269

附录 273

部分练习提示 279

建议阅读 283

参考文献 289

索引 293