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第1章 函数与极限 1

1.1 函数 1

1.1.1 集合 1

1.1.2 函数 4

习题1.1 12

1.2 数列的极限 14

1.2.1 引例 14

1.2.2 数列极限的概念 14

1.2.3 收敛数列的性质 17

习题1.2 19

1.3 函数的极限 20

1.3.1 自变量趋于无穷大时函数的极限 20

1.3.2 自变量趋于有限值时函数的极限 22

1.3.3 函数极限的性质 24

习题1.3 25

1.4 无穷小与无穷大 26

1.4.1 无穷小 26

1.4.2 无穷大 27

1.4.3 无穷小与无穷大的关系 29

习题1.4 29

1.5 极限的运算法则 29

1.5.1 极限的四则运算法则 30

1.5.2 复合函数极限的运算法则 33

习题1.5 34

1.6 极限存在准则两个重要极限 35

1.6.1 夹逼准则 35

1.6.2 单调有界收敛准则 37

习题1.6 39

1.7 无穷小的比较 40

习题1.7 43

1.8 函数的连续性与间断点 43

1.8.1 函数的连续性 43

1.8.2 函数的间断点 45

1.8.3 连续函数的运算法则 47

1.8.4 初等函数的连续性 48

习题1.8 50

1.9 闭区间上连续函数的性质 51

1.9.1 最大值与最小值定理及有界性定理 51

1.9.2 零点定理与介值定理 52

习题1.9 53

复习题1 54

数学家简介——刘徽 56

第2章 导数与微分 57

2.1 导数的概念 57

2.1.1 导数概念的引例 57

2.1.2 导数的概念 58

2.1.3 导数的几何意义 61

2.1.4 可导与连续的关系 62

习题2.1 63

2.2 函数的求导法则 63

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 64

2.2.2 复合函数的导数 65

2.2.3 反函数的求导法则 66

2.2.4 初等函数的导数 67

习题2.2 69

2.3 高阶导数 70

2.3.1 高阶导数的概念 70

2.3.2 高阶导数的运算法则 72

习题2.3 73

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 74

2.4.1 隐函数的导数 74

2.4.2 由参数方程所确定的函数的导数 76

习题2.4 77

2.5 函数的微分 78

2.5.1 微分的概念 78

2.5.2 微分的几何意义 80

2.5.3 微分的基本公式与微分法则 81

2.5.4 微分在近似计算中的应用 82

习题2.5 83

复习题2 84

数学家简介——牛顿 86

第3章 微分中值定理与导数的应用 88

3.1 微分中值定理 88

3.1.1 罗尔（Rolle）定理 88

3.1.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理 89

3.1.3 柯西（Cauchy）中值定理 91

习题3.1 91

3.2 洛必达（L'hospital）法则 92

3.2.1 0/0型未定式 92

3.2.2 ∞/∞型未定式 94

3.2.3 其他类型未定式 95

习题3.2 96

3.3 函数的单调性与极值 97

3.3.1 函数的单调性 97

3.3.2 函数的极值 100

习题3.3 102

3.4 曲线的凹凸性与拐点 函数图形的描绘 103

3.4.1 曲线的凹凸性 103

3.4.2 函数图形的描绘 106

习题3.4 107

3.5 函数的最大值与最小值及其应用 108

习题3.5 111

3.6 曲率 111

3.6.1 曲线的曲率 111

3.6.2 曲率圆与曲率半径 114

习题3.6 115

复习题3 115

数学家简介——布鲁克·泰勒 117

第4章 不定积分 118

4.1 不定积分的概念与性质 118

4.1.1 原函数与不定积分概念 118

4.1.2 不定积分的几何意义 120

4.1.3 不定积分的性质 121

4.1.4 基本积分公式 122

习题4.1 124

4.2 换元积分法 124

4.2.1 第一类换元积分法 125

4.2.2 第二类换元积分法 130

习题4.2 136

4.3 分部积分法 137

习题4.3 140

复习题4 141

数学家简介——柯西 143

第5章 定积分及其应用 145

5.1 定积分的概念与性质 145

5.1.1 引例 145

5.1.2 定积分的定义 147

5.1.3 定积分的几何意义 149

5.1.4 定积分的性质 150

习题5.1 152

5.2 微积分基本公式 153

5.2.1 积分上限函数及其导数 153

5.2.2 牛顿-莱布尼茨公式 156

习题5.2 158

5.3 定积分的换元法和分部积分法 159

5.3.1 定积分的换元法 159

5.3.2 定积分的分部积分法 163

习题5.3 165

5.4 反常积分 166

5.4.1 无穷限的反常积分 166

5.4.2 无界函数的反常积分 168

5.4.3 Г-函数 170

习题5.4 172

5.5 定积分的元素法及其在几何学上的应用 173

5.5.1 定积分的元素法 173

5.5.2 定积分在几何学上的应用——平面图形的面积 174

5.5.3 定积分在几何学上的应用——体积与弧长 180

习题5.5 186

5.6 定积分的元素法在物理学上的应用 187

5.6.1 变力沿直线所做的功 187

5.6.2 水压力 189

习题5.6 190

复习题5 190

数学家简介——莱布尼茨 193

第6章 常微分方程 195

6.1 微分方程的基本概念 195

6.1.1 引例 195

6.1.2 微分方程的概念 196

习题6.1 197

6.2 可分离变量的微分方程 198

6.2.1 可分离变量的微分方程 198

6.2.2 可化为可分离变量微分方程的微分方程 200

习题6.2 204

6.3 一阶线性微分方程 204

习题6.3 208

6.4 可降阶的二阶微分方程 209

6.4.1 y″=f（x）型的微分方程 209

6.4.2 y″=f（x,y′）型的微分方程 211

6.4.3 y″=f（y,y′）型的微分方程 212

习题6.4 214

6.5 二阶常系数齐次线性微分方程 215

习题6.5 220

6.6 二阶常系数非齐次线性微分方程 220

习题6.6 227

复习题6 228

数学家简介——约翰·伯努利 229

附录Ⅰ 常见三角函数公式 231

附录Ⅱ 二阶和三阶行列式简介 233

附录Ⅲ 几种常见的曲线 236

附录Ⅳ 积分表 240

习题答案与提示 250

参考文献 271