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第1章 分歧理论的背景和预备知识 1

1.1 背景和记号 1

1.1.1 分歧理论的研究背景和现状 1

1.1.2 记号 4

1.2 非线性映射的微分 5

1.2.1 Frechet导数 5

1.2.2 隐函数定理 7

1.2.3 分歧的定义 7

1.3 度量空间 8

1.3.1 度量空间的定义和紧性 8

1.3.2 连通分支及相关结论 9

1.4 Leray-Schauder度理论 9

1.4.1 Leray-Schauder度 9

1.4.2 孤立解的指标公式 11

1.5 几个常用恒等式和不等式 12

1.5.1 Picone恒等式 12

1.5.2 几个常用不等式 13

1.6 Sobolev空间和嵌入定理 14

1.6.1 Holder连续函数空间 14

1.6.2 Lp和Wk，p空间 14

1.6.3 嵌入定理 15

1.7 Nemitski算子理论 16

1.7.1 Nemitski算子 16

1.7.2 一类重要应用 16

第2章 局部分歧理论 18

2.1 Krasnosel’skii局部分歧定理 18

2.1.1 Krasnosel’skii分歧定理 18

2.1.2 一个非线性特征值问题的分歧点 20

2.2 局部单边分歧理论 22

2.2.1 单重本征值处的局部单边分歧定理 22

2.2.2 简单本征值处的局部单边分歧定理 24

2.3 Crandall-Rabinowitz局部分歧理论 24

2.3.1 跨临界分歧和音叉分歧 25

2.3.2 鞍结点分歧 28

2.4 Krasnosel’skii位势分歧理论 30

2.4.1 Krasnosel’skii位势分歧定理 30

2.4.2 一个周期边值问题的分歧点 30

第3章 半线性方程的全局分歧理论及其应用 33

3.1 全局分歧理论 33

3.1.1 Rabinowitz全局分歧定理 33

3.1.2 Rabinowitz渐近分歧定理 36

3.2 一类非局部问题的全局分歧 37

3.3 不满足符号条件的半线性微分方程的结点解 40

第4章 半线性方程的单边全局分歧理论及其应用 43

4.1 单边全局分歧理论 43

4.2 Sturm-Liouville问题的单边全局区间分歧 49

4.3 带不可微非线性项问题的结点解 53

第5章 拟线性方程的全局分歧理论及其应用 59

5.1 拟线性算子方程的全局分歧理论 59

5.2 带变号权周期p-Laplace方程的特征值 62

5.3 极小正特征值和极大负特征值的性质 67

5.4 周期p-Laplace方程的全局分歧 73

5.5 周期p-Laplace方程的正解 79

第6章 拟线性方程的单边全局分歧理论及其应用 82

6.1 拟线性算子方程的单边全局分歧理论 82

6.2 一维p-Laplace方程的单边全局分歧和结点解 91

6.3 一维p-Laplace方程的单边全局区间分歧 99

6.3.1 一维问题的单边全局区间分歧 99

6.3.2 半拟线性特征值问题的谱 107

6.3.3 带跳跃非线性项问题的结点解 111

6.4 高维p-Laplace方程的定号解 114

6.4.1 跨越特征值问题的定号解 114

6.4.2 p-Laplace方程定号解的精确个数 118

6.5 高维p-Laplace方程的单边全局区间分歧 121

6.5.1 高维问题的单边全局区间分歧 121

6.5.2 高维半拟线性问题的特征值和定号解 126

第7章 完全非线性方程的全局分歧理论及其应用 131

7.1 一类完全非线性算子方程的全局分歧理论 131

7.1.1 广义同伦原理 131

7.1.2 完全非线性算子方程的全局分歧 133

7.2 一个辅助特征值问题 134

7.3 球形域上Monge-Ampere方程的全局分歧 139

7.4 球形域上Monge-Ampere方程的凸解 144

7.5 球形域上Monge-Ampere方程凸解的精确个数 151

7.6 一般域上Monge-Ampere方程凸解的存在性和非存在性 154

第8章 多参数分歧理论及其应用 157

8.1 Lyapunov-Schmidt过程 157

8.2 多参数局部分歧理论 160

8.3 Hopf分歧 164

8.4 多参数全局分歧理论 168

8.5 Fucik谱处的全局分歧和结点解 173

参考文献 180

索引 191