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第1章 函数、极限与连续 1

1.1 函数 1

1.1.1 数集与邻域 1

1.1.2 函数的概念 3

1.1.3 函数的表示法 5

1.1.4 函数的特性 6

1.1.5 复合函数及初等函数 9

1.1.6 建立函数关系举例 11

习题1.1 12

1.2 数列的极限 14

1.2.1 数列的概念 14

1.2.2 极限思想概述 15

1.2.3 数列极限的定义 15

习题 1.2 18

1.3 函数的极限 18

1.3.1 函数极限的定义 18

1.3.2 函数极限的性质 23

习题1.3 24

1.4 无穷小与无穷大 25

1.4.1 无穷小与无穷大的定义 25

1.4.2 无穷小与无穷大的关系 26

1.4.3 无穷小与函数极限的关系 26

1.4.4 无穷小的性质 27

习题1.4 28

1.5 极限运算法则 28

1.5.1 极限的四则运算法则 29

1.5.2 复合函数的极限运算法则 33

习题1.5 33

1.6 极限存在准则、两个重要极限 34

1.6.1 极限存在准则 34

1.6.2 两个重要极限 37

习题1.6 40

1.7 无穷小的比较 40

习题1.7 43

1.8 函数的连续性和间断点 44

1.8.1 函数连续的概念 44

1.8.2 连续函数的运算性质 46

1.8.3 初等函数的连续性 46

1.8.4 函数的间断点及其分类 48

习题1.8 49

1.9 闭区间上连续函数的性质 50

习题1.9 52

总习题一 52

第2章 导数与微分 55

2.1 导数的概念 55

2.1.1 引例 55

2.1.2 导数的定义 56

2.1.3 导数的几何意义 59

2.1.4 可导与连续的关系 59

习题2.1 60

2.2 求导法则 60

2.2.1 导数的四则运算 60

2.2.2 反函数的导数 61

2.2.3 复合函数的导数 63

2.2.4 基本求导法则与公式 64

习题2.2 65

2.3 高阶导数 66

习题2.3 68

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 68

2.4.1 隐函数的导数 68

2.4.2 对数求导法 69

2.4.3 由参数方程所确定的函数的导数 70

习题2.4 71

2.5 微分 72

2.5.1 微分的基本概念 72

2.5.2 微分的几何意义 73

2.5.3 微分的公式 74

2.5.4 微分的应用 75

习题2.5 76

2.6 导数在经济分析中的应用 76

2.6.1 边际分析 77

2.6.2 弹性分析 79

习题2.6 82

总习题二 82

第3章 微分中值定理及导数的应用 85

3.1 微分中值定理 85

3.1.1 罗尔中值定理 85

3.1.2 拉格朗日中值定理 86

3.1.3 柯西中值定理 88

习题3.1 90

3.2 洛必达法则 91

3.2.1 0/0型及∞/∞型未定式 91

3.2.2 其他类型未定式 93

习题3.2 94

3.3 泰勒公式 95

3.3.1 泰勒公式 95

3.3.2 几个函数的麦克劳林公式 97

习题3.3 100

3.4 函数的单调性和极值 100

3.4.1 函数的单调性判定 100

3.4.2 函数的极值及其求法 102

3.4.3 最大值最小值问题 104

习题3.4 107

3.5 曲线的凹凸性与拐点 108

3.5.1 曲线的凹凸性 108

3.5.2 曲线的拐点 110

习题3.5 111

3.6 函数图形的描绘 112

3.6.1 曲线的渐近线 112

3.6.2 函数图形的描绘 114

习题3.6 117

3.7 平面曲线的曲率 117

3.7.1 弧微分 117

3.7.2 曲率的定义及计算 118

3.7.3 曲率圆与曲率半径 121

习题3.7 122

3.8 方程的近似解 123

3.8.1 二分法 123

3.8.2 牛顿切线法 124

习题3.8 127

总习题三 127

第4章 不定积分 129

4.1 原函数与不定积分 129

4.1.1 原函数的概念 129

4.1.2 不定积分的概念 130

4.1.3 不定积分的性质 132

4.1.4 不定积分的基本积分表 132

4.1.5 直接积分法 133

习题4.1 133

4.2 换元积分法 134

4.2.1 第一类换元法（凑微分法） 135

4.2.2 第二类换元法 139

习题4.2 144

4.3 分部积分法 146

习题4.3 151

4.4 有理函数以及可化为有理函数的积分 151

4.4.1 有理函数的积分 152

4.4.2 可化为有理函数的积分 156

习题4.4 158

总习题四 159

第5章 定积分 162

5.1 定积分的概念与性质 162

5.1.1 定积分问题举例 162

5.1.2 定积分的定义 165

5.1.3 定积分的意义 168

5.1.4 定积分的近似计算 169

5.1.5 定积分的基本性质 171

习题5.1 174

5.2 微积分学基本定理与基本公式 175

5.2.1 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 175

5.2.2 微积分学基本定理 176

5.2.3 牛顿－莱布尼兹公式 179

习题5.2 181

5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 182

5.3.1 定积分的换元积分法 182

5.3.2 定积分的分部积分法 185

习题5.3 187

5.4 反常积分 188

5.4.1 无穷限的反常积分 189

5.4.2 无界函数的反常积分 190

习题5.4 192

总习题五 193

第6章 定积分的应用 196

6.1 微元法 196

6.2 定积分在几何上的应用 198

6.2.1 平面图形的面积 198

6.2.2 用定积分求体积 203

6.2.3 用定积分求平面曲线的弧长 206

习题6.2 209

6.3 定积分在物理中的应用 210

6.3.1 变力沿直线所做的功 210

6.3.2 液体的压力 211

6.3.3 物质曲线的质量 212

6.3.4 引力 212

习题6.3 214

6.4 定积分在经济中的应用 214

6.4.1 边际问题 214

6.4.2 由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率 215

6.4.3 由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量 215

习题6.4 216

总习题六 216

附录A 中学数学知识回顾 218

附录B 常用曲线 230

附录C 常用凑微分公式及积分表 233

习题答案与提示 244