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第一章 复数与复变函数 1

1.1　复数及其运算 1

1.1.1 复数及其几何表示 1

1.1.2　复数的运算 4

1.2　复平面上的点集 10

1.3 复变函数 15

1.4　复变函数的极限与连续性 21

1.4.1 复变函数的极限 21

1.4.2 复变函数的连续性 23

1.5.1 球面投影 26

1.5　扩充复平面 26

1.5.2　扩充复平面 28

1.6 习题 30

第二章　解析函数 33

2.1 解析函数的概念与柯西－黎曼条件 33

2.2　初等函数 43

2.2.1 指数函数 43

2.2.2 三角函数 46

2.2.3　对数函数 48

2.2.4 一般幂函数与一般指数函数 52

2.2.5 反三角函数 55

2.3 习题 56

第三章　复变函数的积分 59

3.1　积分及其性质 59

3.2　柯西定理 64

3.2.1 单连通区域的柯西定理 64

3.2.2 解析函数的原函数 68

3.2.3 多连通区域的柯西定理 71

3.3　柯西公式 73

3.3.1 柯西公式 73

3.3.2 解析函数的高阶导数 77

3.4 调和函数 83

3.5 习题 87

第四章　解析函数的级数表示 90

4.1　复数项级数 90

4.2　复变函数项级数 93

4.3　幂级数 98

4.4 泰勒级数 102

4.4.1 解析函数的泰勒级数 102

4.4.2　解析函数的零点 107

4.5 罗朗级数 111

4.5.1 圆环内解析函数的罗朗展式 111

4.5.2 利用罗朗展开式讨论孤立奇点 117

4.6　习题 123

5.1　残数的一般理论 127

5.1.1　残数基本定理 127

第五章　残数及其应用 127

5.1.2　残数的计算 129

5.1.3 函数在无穷点的残数 132

5.2　利用残数计算实积分 134

5.3　辐角原理及其应用 140

5.4　习题 149

6.1　保形映射的概念 152

6.1.1 导数的几何意义 152

第六章　保形映射 152

6.1.2　解析函数与单叶解析函数映射特征 154

6.1.3　扩充复平面上的保形映射 156

6.2　关于保形映射的黎曼存在定理和边界对应原理 157

6.3 线性映射 159

6.3.1 线性映射的特性 159

6.3.2 典型区域间的线性映射 166

6.4　初等保形映射 171

6.4.1　幂函数 171

6.4.2　指数函数与对数函数 172

6.5 习题 177

7.1 含复参数函数的定积分 179

第七章　含复参数函数的积分 179

7.2　含复参数函数的无穷积分 181

7.3 习题 184

第八章　拉普拉斯变换 185

8.1 拉普拉斯变换的概念及其存在定理 185

8.2　拉普拉斯变换的性质 189

8.3　拉普拉斯逆变换 197

8.4　卷积 202

8.5　微分、积分方程的拉普拉斯变换解法 204

8.6　习题 209

9.1 傅里叶变换的概念及其存在定理 215

第九章 傅里叶变换 215

9.2　傅里叶变换的性质 226

9.3　卷积与相关函数 231

9.4　δ-函数的傅里叶变换 239

9.4.1　δ－函数及其性质 239

9.4.2 δ－函数的傅里叶变换 244

9.5　习题 248

附录Ⅰ 拉普拉斯变换简表 251

附录Ⅱ 傅里叶变换简表 258

附录Ⅲ 习题参考答案 262