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第1章 基本概念 1

1.1 基础知识 1

1.2 基础理论 4

1.3 基本方法 6

1.4 问题的研究与探讨 7

1.5 习题 14

1.6 习题解答或提示 16

第2章 多项式理论 19

2.1 基础知识 19

2.2 基础理论 22

2.3 基本方法 27

2.4 问题的研究与探讨 30

2.4.1 多项式相等的问题 30

2.4.2 多项式的整除性质 33

2.4.3 多项式的最大公因式 38

2.4.4 不可约多项式 43

2.4.5 多项式的重因式与重根 49

2.5 习题 56

2.6 习题解答或提示 61

第3章 行列式式的计算 66

3.1 基础知识 66

3.2 基础理论 68

3.3 基本方法 71

3.4 问题的研究与探讨 74

3.4.1 利用行列式的定义 74

3.4.2 利用行列式的性质 75

3.4.3 化为箭形行列式 76

3.4.4 递推法 77

3.4.5 归纳法 81

3.4.6 降阶法 83

3.4.7 升阶法 84

3.4.8 分解之和法 85

3.4.9 分解之积法 86

3.4.10 换元法 87

3.4.11 应用典型行列式法 88

3.4.12 利用n阶循环行列式 89

3.5 习题 91

3.6 习题解答或提示 98

第4章 线性方程组理论 103

4.1 基础知识 103

4.2 基础理论 106

4.3 基本方法 109

4.4.1 关于矩阵的秩 112

4.4 问题的研究与探讨 112

4.4.2 向量的线性相关性 114

4.4.3 矩阵的秩与向量的线性相关性 118

4.4.4 线性方程组有解的判别 120

4.4.5 矩阵秩的关系式 122

4.4.6 矩阵方程 126

4.5 习题 133

4.7 习题解答或提示 138

第5章 矩阵理论 146

5.1 基础知识 146

5.2 基础理论 154

5.3 基本方法 158

5.4 问题的研究与探讨 159

5.4.1 矩阵分解之和的问题 159

5.4.2 矩阵分解之积的问题 162

5.4.3 矩阵的特征根 169

5.4.4 方阵高次幂的计算 174

5.4.5 可逆矩阵 178

5.4.6 广义初等变换的应用 185

5.4.7 矩阵各种标准形的应用 187

5.5 习题 190

5.6 习题解答或提示 194

第6章 向量空间 207

6.1 基础知识 207

6.2 基础理论 210

6.3 基本方法 212

6.4 问题的研究与探讨 214

6.4.1 向量空间和子空间 214

6.4.2 向量空间的基和维数 218

6.4.3 有关过渡阵的问题 221

6.4.4 与线性方程组有关的问题 224

6.4.5 子空间的直和分解 228

6.4.6 向量空间的同构 233

6.5 习题 236

6.6 习题解答或提示 240

第7章 线性变换 247

7.1 基础知识 247

7.2 基础理论 249

7.3 基本方法 252

7.4 问题的研究与探讨 255

7.4.1 线性变换的运算 255

7.4.2 线性变换的结构 258

7.4.3 子空间的维数与直和 264

7.4.4 不变子空间 269

7.4.5 特征根与特征向量 275

7.4.6 线性变换可对角化问题 283

7.5 习题 292

7.6 习题解答或提示 297

第8章 欧氏空间与酋空间 309

8.1 基础知识 309

8.2 基础理论 311

8.3 基本方法 313

8.4 问题的研究与探讨 317

8.4.1 内积与度量矩阵 317

8.4.2 正交变换 324

8.4.3 对称变换 330

8.4.4 正交补空间 335

8.4.5 欧氏空间的同构 337

8.4.6 酉空间 340

8.5 习题 344

8.6 习题解答或提示 348

第9章 双线性函数与二次型 358

9.1 基础知识 358

9.2 基础理论 361

9.3 基本方法 364

9.4 问题的研究与探讨 365

9.4.1 线性函数 365

9.4.2 双线性函数 368

9.4.3 二次型与矩阵合同 372

9.4.4 正定二次型 376

9.4.5 实二次型的进一步讨论 384

9.5 习题 389

9.6 习题解答或提示 392

附录 矩阵初等变换的应用 405

参考书目 410