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前言 1

第1章 偏微分方程一般理论 1

1.1 偏微分方程的基本概念 1

1.2 典型偏微分方程的导出 3

1.3 定解问题 10

1.4 定解问题的适定性概念 12

1.5 三类古典方程的比较 14

1.6 二阶线性偏微分方程 16

1.7 分离变量法的理论基础 21

习题一 23

第2章 热传导方程 25

2.1 混合问题的分离变量法 25

2.2 热传导方程的Cauchy问题 31

2.3 Laplace变换及其应用 37

2.4 热传导方程的极值原理及其应用 40

习题二 43

第3章 波动方程 45

3.1 一维波动方程Cauchy问题 D'Alembert公式 45

3.2 一维波动方程的半无界问题 50

3.3 一维波动方程的初边值问题 52

3.4 高维Cauchy问题 57

3.5 能量积分 解的唯一性与稳定性 63

习题三 69

第4章 位势方程 Green函数 72

4.1 位势方程的定解问题及一些特殊解法 72

4.2 调和函数的性质 77

4.3 极值原理 82

4.4 位势方程的Green函数法 87

4.5 热传导方程的Green函数法 92

习题四 96

第5章 一阶偏微分方程组 98

5.1 一阶偏微分方程组的实例 98

5.2 两个自变数的一阶线性偏微分方程组的特征理论 101

5.3 一阶线性严格双典型方程组Cauchy问题 105

5.4 一阶拟线性双典型方程组 113

5.5 单个拟线性双典型方程Cauchy问题 119

5.6 一阶拟线性双曲型方程组Cauchy问题 124

习题五 128

6.1 δ函数 131

第6章 广义函数与基本解 131

6.2 基本空间 134

6.3 广义函数空间 138

6.4 Fourier变换 145

6.5 偏微分方程的基本解 148

习题六 154

第7章 偏微分方程与变分法 156

7.1 Sobolev空间简介 156

7.2 变分原理 160

7.3 变分问题的近似解法 168

7.4 有限元方法介绍 175

习题七 179

参考文献 181