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第1章 复数与复变函数 1

1.1 复数 1

1.1.1 复数的定义及运算 1

1.1.2 复数的模与共轭复数 2

1.1.3 复数的几何表示 2

1.1.4 复数的三种表示式 3

1.1.5 复数的乘幂与开方 4

1.2 平面点集 7

1.2.1 邻域 7

1.2.2 区域 8

1.2.3 曲线 9

1.3 复球面与无穷远点 11

1.4 复变函数 12

1.4.1 复变函数的概念 13

1.4.2 复变函数的极限 14

1.4.3 复变函数的连续性 16

习题1 17

第2章 解析函数 19

2.1 解析函数的概念与柯西－黎曼条件 19

2.1.1 复变函数的导数 19

2.1.2 解析函数的概念 20

2.1.3 函数解析的充要条件 21

2.2 初等解析函数 24

2.2.1 指数函数 24

2.2.2 三角函数 25

2.2.3 双曲函数 27

2.3 初等多值函数 27

2.3.1 根值函数及其支割线 28

2.3.2 对数函数 28

2.3.3 幂函数 30

2.3.4 反三角函数与反双曲函数 31

习题2 32

第3章 复变函数的积分 34

3.1 复变函数的积分概念 34

3.1.1 复变函数积分的定义及性质 34

3.1.2 复变函数积分存在定理 35

3.1.3 复变函数积分的计算 36

3.2 柯西积分定理及其推广 38

3.2.1 柯西积分定理 38

3.2.2 柯西积分定理的推广——复合闭路定理 39

3.2.3 积分与路径无关定理 42

3.3 解析函数的不定积分 43

3.4 柯西积分公式与高阶导数公式 46

3.4.1 柯西积分公式 46

3.4.2 高阶导数公式 49

3.4.3 关于解析函数的几个结论 52

3.5 解析函数与调和函数 53

习题3 56

第4章 复变函数的级数 58

4.1 复级数的基本概念与性质 58

4.1.1 复数列的极限 58

4.1.2 复数项级数 59

4.2 幂级数 61

4.2.1 复变函数项级数 61

4.2.2 幂级数的敛散性定理 62

4.2.3 收敛圆与收敛半径 62

4.2.4 幂级数的运算和性质 65

4.3 解析函数的泰勒展开 67

4.3.1 泰勒展开定理 67

4.3.2 初等函数的幂级数展开式 69

4.4 解析函数的洛朗展开 71

4.4.1 洛朗级数 71

4.4.2 洛朗展开定理 73

4.4.3 求解析函数的洛朗展开式的一些方法 76

4.5 解析函数的孤立奇点 77

4.5.1 解析函数的孤立奇点及其分类 77

4.5.2 解析函数在孤立奇点的性质 79

4.6 解析函数在无穷远点的性质 82

习题4 83

第5章 留数及其应用 86

5.1 留数 86

5.1.1 留数的概念 86

5.1.2 留数的计算 87

5.1.3 函数在无穷远点的留数 89

5.2 留数定理及其应用 90

5.2.1 留数定理 90

5.2.2 留数在定积分计算中的应用 93

5.3 辐角原理及其应用 97

5.3.1 对数留数 97

5.3.2 辐角原理 99

5.3.3 儒歇定理 100

习题5 102

第6章 保形映射 104

6.1 保形映射的概念 104

6.1.1 解析函数导数的几何意义 105

6.1.2 保形映射的概念 107

6.2 分式线性映射 107

6.3 唯一决定分式线性映射的条件 110

6.4 几个初等函数所构成的映射 115

6.4.1 幂函数w=zn（n是不小于2的自然数） 115

6.4.2 指数函数w=ez 118

6.4.3 儒可夫斯基函数 120

6.5 关于保形映射的两个一般性定理 122

习题6 123

第7章 傅里叶变换 126

7.1 傅里叶积分 126

7.1.1 两种重要的周期信号 127

7.1.2 傅里叶级数 128

7.1.3 傅里叶积分定理 133

7.2 傅里叶变换及其性质 140

7.2.1 傅里叶变换的概念 140

7.2.2 傅里叶变换的意义 142

7.2.3 傅里叶逆变换的意义 146

7.2.4 傅里叶变换的性质 147

7.3 脉冲函数 153

7.3.1 单位脉冲函数的概念 153

7.3.2 单位脉冲函数的性质 157

7.3.3 单位脉冲函数的傅里叶变换 161

7.4 卷积与相关函数 164

7.4.1 卷积的概念 164

7.4.2 卷积的性质 169

7.4.3 相关函数 172

7.5 傅里叶变换的应用 175

7.5.1 非周期函数的频谱 175

7.5.2 周期函数的频谱 178

7.5.3 傅里叶变换性质的应用 181

7.5.4 用傅里叶变换解微分、积分方程 183

习题7 185

第8章 拉普拉斯变换 190

8.1 拉普拉斯变换的概念 190

8.1.1 拉普拉斯变换的定义 190

8.1.2 拉普拉斯变换的存在定理 194

8.1.3 周期函数的拉普拉斯变换 196

8.1.4 δ函数的拉普拉斯变换 197

8.1.5 0＋系统与0-系统的拉普拉斯变换 198

8.2 拉普拉斯变换的性质 200

8.3 拉普拉斯逆变换 213

8.3.1 反演积分 213

8.3.2 拉普拉斯逆变换的计算 214

8.4 卷积 225

8.4.1 卷积的概念 225

8.4.2 卷积的性质 227

8.5 拉普拉斯变换的应用 230

8.5.1 用拉普拉斯变换解微分、积分方程（组） 230

8.5.2 连续时间LTI系统的复频域分析法 238

习题8 243

部分习题参考解答 248

参考文献 260

附录Ⅰ 傅里叶变换简表 261

附录Ⅱ 拉普拉斯变换简表 265