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第1章 子流形上的基本对称张量泛函 1

1.1 子流形第二基本型与张量构造 1

1.2 经典体积泛函 3

1.3 高阶极小泛函 4

1.4 低阶曲率泛函 6

1.5 高阶共形泛函 9

1.6 基本对称张量泛函研究的意义 9

第2章 黎曼几何基本理论 10

2.1 微分流形的定义 10

2.2 黎曼几何结构方程 13

2.3 共形几何变换公式 15

第3章 子流形基本方程与变分理论 23

3.1 子流形结构方程 23

3.2 子流形共形变换 29

3.3 子流形的例子 30

3.4 子流形变分公式 32

第4章 第二基本型张量的组合构造 44

4.1 牛顿变换的定义 44

4.2 牛顿变换的性质 47

4.3 牛顿变换的应用 73

第5章 自伴微分算子的组合构造 82

5.1 自伴算子的定义 82

5.2 对称曲率函数的计算 85

5.2.1 全曲率模长和Willmore不变量的微分 85

5.2.2 超曲面的Sr的微分 88

5.2.3 余维数大于2的子流形的Sr的微分 91

5.2.4 余维数大于2的子流形上的S？的微分 93

5.3 特殊向量场的计算 96

第6章 与间隙现象相关的不等式 98

6.1 Chern-do Carmo-Kobayashi不等式 98

6.2 沈一兵类型方法 102

6.3 李安民类型不等式 104

6.4 Huisken不等式 105

第7章 基本对称张量泛函的构造 107

7.1 四类抽象的基本对称张量泛函 107

7.2 特殊的基本对称张量泛函 108

7.2.1 一般体积泛函 108

7.2.2 高阶极小泛函 110

7.2.3 Willmore泛函 111

7.2.4 全曲率模长泛函 113

7.2.5 平均曲率模长泛函 114

7.2.6 低阶曲率泛函 115

7.2.7 高阶共形不变泛函 116

第8章 抽象基本对称张量泛函的第一变分 121

8.1 超曲面的R（n,p=1,I）型泛函 121

8.2 超曲面的R（n,p=1,II）型泛函 122

8.3 子流形的R（n,p＞1,I）型泛函 125

8.4 子流形的R（n,p＞1,II）型泛函 129

第9章 体积泛函 135

9.1 体积泛函与变分公式的计算 135

9.2 极小子流形的间隙现象 138

第10章 高阶极小泛函 142

10.1 欧式空间高阶极小超曲面 142

10.2 空间形式高阶极小子流形 143

10.3 高阶极小子流形的微分刻画 144

10.4 高阶极小子流形的变分刻画 145

10.5 单位球面中的不稳定结果 148

第11章 曲率场线性相关泛函 151

11.1 定义和泛函的构造 151

11.2 曲率场相关子流形的微分刻画 152

11.3 曲率场相关子流形的变分刻画 153

11.4 单位球面中的不稳定结果 158

11.5 欧氏空间中的稳定性结论 160

第12章 平均曲率模长泛函 167

12.1 抽象的平均曲率泛函 167

12.2 特殊的平均曲率泛函 168

12.3 平均曲率模长泛函的第一变分公式 170

12.3.1 抽象函数型平均曲率模长泛函的第一变分公式 170

12.3.2 幂函数型平均曲率模长泛函的第一变分公式 171

12.3.3 指数函数型平均曲率模长泛函的第一变分公式 173

12.3.4 对数函数型平均曲率模长泛函的第一变分公式 174

12.4 平均曲率模长泛函临界点的例子 175

12.4.1 抽象函数型平均曲率模长泛函临界点的例子 175

12.4.2 幂函数型平均曲率模长泛函临界点的例子 177

12.4.3 指数函数型平均曲率模长泛函临界点的例子 179

12.5 平均曲率模长泛函的第二变分公式 182

第13章 全曲率模长泛函 185

13.1 全曲率模长泛函的定义 185

13.2 全曲率模长泛函的第一变分公式 188

13.2.1 抽象函数型全曲率模长泛函的第一变分公式 188

13.2.2 幂函数型全曲率模长泛函的第一变分公式 189

13.2.3 指数函数型全曲率模长泛函的第一变分公式 190

13.2.4 对数函数型全曲率模长泛函的第一变分公式 191

13.3 全曲率模长泛函临界点的例子 193

13.3.1 抽象函数型全曲率模长泛函临界点的例子 193

13.3.2 幂函数型全曲率模长泛函临界点的例子 196

13.3.3 指数函数型全曲率模长泛函临界点的例子 198

13.3.4 对数函数型全曲率模长泛函临界点的例子 199

13.4 全曲率模长泛函的第二变分公式 201

13.5 矩阵不等式与全曲率模长泛函的估计 203

13.6 全曲率模长泛函的Simons型积分不等式 218

13.7 全曲率模长泛函的间隙现象 223

13.8 全曲率模长泛函间隙现象的证明 235

第14章 Willmore与高阶共形泛函 237

14.1 Willmore泛函的定义 237

14.2 Willmore泛函的第一变分公式 241

14.2.1 抽象函数型Willmore泛函的第一变分公式 241

14.2.2 幂函数型Willmore泛函的第一变分公式 242

14.2.3 指数函数型Willmore泛函的第一变分公式 243

14.2.4 对数函数型Willmore泛函的第一变分公式 245

14.3 Willmore泛函临界点的例子 246

14.3.1 抽象Willmore泛函临界点的例子 246

14.3.2 幂函数型Willmore泛函临界点的例子 250

14.3.3 指数函数型Willmore泛函临界点的例子 268

14.3.4 对数函数型Willmore泛函临界点的例子 274

14.4 Willmore泛函的第二变分公式 276

14.5 高阶共形不变泛函的第一变分 279

14.6 矩阵不等式与Willmore泛函的估计 282

14.7 Willmore泛函的Simons型积分不等式 292

14.8 Willmore泛函的间隙现象 298

14.8.1 抽象函数型Willmore的间隙现象 298

14.8.2 幂函数型Willmore泛函的间隙现象 307

14.8.3 指数函数行型Willmore泛函的间隙现象 317

14.8.4 对数函数型Willmore泛函的间隙现象 319

14.9 Willmore泛函间隙现象的证明 324

第15章 低阶曲率泛函 327

15.1 低阶曲率泛函构造 327

15.2 低阶曲率泛函的第一变分公式 329

15.2.1 抽象函数型低阶曲率泛函LRC（n,F）的第一变分公式 330

15.2.2 线性函数型低阶曲率泛函LCR（n,F（au+bv））的第一变分公式 331

15.2.3 幂函数型低阶曲率泛函LCR（n,F（uavb））的第一变分公式 332

15.2.4 分式函数型低阶曲率泛函LCR（n,u/nv）的第一变分公式 334

15.2.5 分式函数型低阶曲率泛函LCR（n,nv/u）的第一变分公式 335

15.3 抽象函数型低阶曲率泛函临界点的例子 337

15.4 低阶曲率泛函的第二变分 339

15.4.1 抽象函数型低阶曲率泛函LCR（n,F）的第二变分 339

15.4.2 线性函数型低阶曲率泛函LCR（n,F（au+bv））的第二变分公式 346

15.4.3 幂函数型低阶曲率泛函LCR（n,F（uavb））的第二变分公式 349

15.5 矩阵不等式与抽象函数的计算 355

15.6 低阶曲率泛函临界点的估计 364

15.7 低阶曲率泛函临界点的间隙现象 379

第16章 子流形锥的稳定性 383

16.1 锥的基本方程 383

16.2 稳定性的刻画 389

参考文献 396