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第一章 实数系与不等式 1

第一节 实数系连续性的基本定理 1

一、Weierstrass单调有界定理 1

二、Cauchy-Cantor闭区间套定理 2

三、Dedekind分割定理 3

四、确界定理 3

五、Heine-Borel有限覆盖定理 5

六、Weierstrass聚点定理 7

七、Bolzano-Weierstrass致密性定理 7

八、Cauchy准则 8

习题 8

第二节 不等式 10

一、常用不等式举例 10

二、凸函数与不等式 14

三、微分学在不等式中的应用 18

四、积分学在不等式中的应用 22

习题 27

第二章 极限论 31

第一节 上极限与下极限 31

习题 34

第二节 数列极限 35

一、单调有界数列收敛定理的应用 36

二、迫敛性定理的应用 37

三、上、下极限理论的应用 39

四、Stolz（施图兹）定理及其应用 41

五、Toplitz（托布利兹）数列转换定理及其应用 44

习题 48

第三节 数项级数 50

习题 58

第四节 函数极限 60

一、一元函数的极限 60

二、多元函数的极限 68

习题 72

第三章 函数的分析性质 74

第一节 函数的连续性 74

一、连续性 74

二、一致连续性 77

习题 81

第二节 函数的可微性 82

一、一元函数可微的性质 82

二、微分中值定理 87

三、多元函数的可微性与极值 92

习题 95

第三节 函数的可积性 97

一、一元函数的积分 98

二、重积分 104

习题 109

第四节 广义积分 111

习题 118

第四章 一致收敛性 120

第一节 函数列的一致收敛与等度连续 120

习题 126

第二节 函数项级数的一致收敛 128

习题 136

第三节 含参变量广义积分 138

一、一致收敛的判别法 138

二、一致收敛的性质 139

三、几个重要的积分 139

习题 146

第四节 幂级数与Fourier级数 147

习题 151

第五章 曲线积分 曲面积分 场论 153

第一节 曲线积分与曲面积分 153

一、曲线积分 153

二、曲面积分 156

三、各类积分间的关系 158

习题 161

第二节 场论初步 163

一、场的概念 163

二、梯度、散度与旋度 164

习题 168

参考文献 169