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第1章 函数、极限与连续 1

1.1 函数 1

1.1.1 集合、区间、邻域 1

1.1.2 函数的概念 2

1.1.3 函数的特性 4

习题1.1 6

1.2 初等函数 7

1.2.1 反函数 7

1.2.2 基本初等函数 7

1.2.3 复合函数 9

1.2.4 初等函数 10

1.2.5 双曲函数及反双曲函数 10

习题1.2 12

1.3 数列的极限 12

1.3.1 数列极限的概念 13

1.3.2 数列极限的性质 15

习题1.3 17

1.4 函数的极限 18

1.4.1 当x→∞时，函数f（x）的极限 18

1.4.2 当x→x0时，函数f（x）的极限 20

1.4.3 函数极限的性质 23

习题1.4 24

1.5 无穷大与无穷小 25

1.5.1 无穷小量 25

1.5.2 无穷大量 27

1.5.3 无穷大量与无穷小量的关系 28

习题1.5 29

1.6 极限的运算法则 29

习题1.6 33

1.7 极限存在准则及两个重要极限 34

1.7.1 极限存在准则 34

1.7.2 两个重要极限 36

习题1.7 39

1.8 无穷小量阶的比较 40

习题1.8 42

1.9 函数的连续性与间断点 42

1.9.1 函数的连续性 42

1.9.2 函数的间断点 44

习题1.9 47

1.10 连续函数的运算及闭区间上连续函数的性质 48

1.10.1 连续函数的四则运算 48

1.10.2 反函数与复合函数的连续性 48

1.10.3 初等函数的连续性 49

1.10.4 闭区间上连续函数的性质 51

1.10.5 函数的一致连续性 53

习题1.10 54

总习题1 55

第2章 导数与微分 57

2.1 导数的概念 57

2.1.1 引例 57

2.1.2 导数的定义 59

2.1.3 求导数举例 62

2.1.4 导数的几何、物理、化学意义 63

2.1.5 函数的可导性与连续性的关系 65

习题2.1 66

2.2 函数的求导法则 67

2.2.1 导数的四则运算法则 67

2.2.2 反函数的导数 69

2.2.3 复合函数的求导法则 71

习题2.2 75

2.3 高阶导数 76

习题2.3 79

2.4 隐函数的导数及由参数方程所确定的函数的导数 79

2.4.1 隐函数的导数 79

2.4.2 对数求导法 81

2.4.3 由参数方程所确定的函数的导数 82

2.4.4 相关变化率 85

习题2.4 86

2.5 函数的微分 87

2.5.1 微分的定义 87

2.5.2 微分的几何意义 89

2.5.3 基本初等函数的微分公式和微分的运算法则 90

2.5.4 微分在近似计算中的应用 92

习题2.5 94

总习题2 95

第3章 中值定理与导数的应用 97

3.1 中值定理 97

3.1.1 罗尔（Rolle）定理 97

3.1.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理 99

3.1.3 柯西（Cauchy）中值定理 103

习题3.1 104

3.2 洛必达（L′Hospital）法则 105

习题3.2 109

3.3 泰勒公式 110

3.3.1 泰勒（Taylor）公式 110

3.3.2 常见初等函数的带皮亚诺型余项的麦克劳林公式 114

3.3.3 麦克劳林公式和泰勒公式的应用 115

习题3.3 117

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 118

3.4.1 函数的单调性 118

3.4.2 曲线的凹凸性 120

习题3.4 124

3.5 函数的极值与最值 125

3.5.1 函数的极值 125

3.5.2 函数的最值 128

习题3.5 131

3.6 函数图形的描绘 132

3.6.1 渐近线 132

3.6.2 函数图形的描绘 133

习题3.6 135

3.7 平面曲线的曲率 136

3.7.1 曲线曲率的定义 136

3.7.2 弧长的微分 138

3.7.3 曲率的计算及曲率半径 139

习题3.7 142

总习题3 142

第4章 不定积分 146

4.1 不定积分的概念与性质 146

4.1.1 原函数与不定积分的概念 146

4.1.2 不定积分的几何意义 148

4.1.3 不定积分的性质 148

4.1.4 基本积分公式 149

习题4.1 151

4.2 换元积分法 151

4.2.1 第一换元法（凑微分法） 151

4.2.2 第二换元积分法 157

习题4.2 161

4.3 分部积分法 162

习题4.3 166

4.4 有理函数的积分 166

4.4.1 有理函数的积分 166

4.4.2 可化为有理函数的积分 170

习题4.4 172

总习题4 172

第5章 定积分 174

5.1 定积分的概念与性质 174

5.1.1 定积分问题举例 174

5.1.2 定积分的定义 176

5.1.3 定积分的性质 179

习题5.1 183

5.2 微积分基本公式 183

5.2.1 积分上限函数及其导数 184

5.2.2 微积分基本公式 188

习题5.2 190

5.3 定积分的积分方法 191

5.3.1 定积分的换元积分法 191

5.3.2 定积分的分部积分法 196

习题5.3 198

5.4 定积分的近似运算 199

5.4.1 矩形法 199

5.4.2 梯形法 199

5.4.3 抛物线法（辛普森法） 200

习题5.4 201

5.5 广义积分 202

5.5.1 无穷限的广义积分 202

5.5.2 无界函数的广义积分 204

习题5.5 206

5.6 广义积分的审敛法与Γ函数 206

5.6.1 无穷限的广义积分的审敛法 206

5.6.2 无界函数的广义积分的审敛法 208

5.6.3 Γ函数 209

习题5.6 210

总习题5 210

第6章 定积分的应用 213

6.1 定积分的微元法 213

6.2 定积分在几何学上的应用 215

6.2.1 平面图形的面积 215

6.2.2 体积 218

6.2.3 平面曲线的弧长 221

习题6.2 223

6.3 定积分在物理学上的应用 224

6.3.1 变力做功问题 224

6.3.2 水压力 225

6.3.3 引力 226

6.3.4 转动惯量 227

习题6.3 228

总习题6 228

第7章 无穷级数 230

7.1 常数项级数的概念和性质 230

7.1.1 引例 230

7.1.2 常数项级数的概念 231

7.1.3 收敛级数的基本性质 233

习题7.1 236

7.2 常数项级数审敛法 237

7.2.1 正项级数审敛法 237

7.2.2 交错级数的审敛法 244

7.2.3 绝对收敛与条件收敛 245

习题7.2 247

7.3 幂级数 249

7.3.1 函数项级数的概念 249

7.3.2 幂级数的收敛性 250

7.3.3 幂级数的运算 255

习题7.3 258

7.4 函数展开成幂级数 259

7.4.1 泰勒级数的概念 259

7.4.2 将函数展开成幂级数 261

习题7.4 267

7.5 函数的幂级数展开式的应用 267

7.5.1 求常数项级数的和 267

7.5.2 函数值的近似计算 268

7.5.3 定积分的近似计算 269

7.5.4 欧拉公式 270

习题7.5 271

7.6 傅里叶（Fourier）级数 272

7.6.1 三角级数、三角函数的正交性 272

7.6.2 周期为2π的函数的傅里叶级数 273

7.6.3 周期为2l的函数的傅里叶级数 280

7.6.4 傅里叶级数的复数形式 283

习题7.6 285

总习题7 287

习题参考答案及提示 291

参考书目 328