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第1章 数学应用与模型概述 1

1.1 数学应用认知 1

1.1.1 数学应用促进数学发展 2

1.1.2 数学是科学的得力助手 3

1.1.3 数学应用是社会发展的加速器 4

1.1.4 应公正地看待数学应用 6

1.2 数学模型和数学建模 7

1.2.1 数学模型认知 7

1.2.2 数学建模的一般过程 10

1.2.3 数学模型方法 13

1.2.4 数学建模与数学应用题 13

1.3 数学模型的学习建议 15

1.3.1 提高应用数学修养 15

1.3.2 养成开放的思维方式 15

思考与练习1 16

第2章 初等代数模型 18

2.1 初等方程模型 18

2.1.1 电阻测量问题 18

2.1.2 行程问题 19

2.1.3 投入产出问题 21

2.2 初等函数模型 23

2.2.1 价格竞争问题 23

2.2.2 红绿灯问题 25

2.2.3 销售收入问题 26

2.2.4 双煎饼问题 27

2.2.5 椅子着地问题 30

2.3 初等不等式模型 32

2.3.1 糖水浓度问题 32

2.3.2 水桶排序问题 33

2.3.3 投掷训练问题 34

2.3.4 衣服漂洗问题 36

2.3.5 席位分配问题 37

2.4 线性规划模型 41

2.4.1 安排生产问题 42

2.4.2 下料问题 45

2.4.3 指派和分配问题 46

2.5 数列模型 49

2.5.1 银行贷款问题 49

2.5.2 掌握程度问题 51

2.5.3 兔子繁殖问题 52

2.5.4 需求变化问题 57

2.5.5 人口增长问题 59

思考与练习2 63

第3章 初等几何模型 67

3.1 测量问题 67

3.1.1 经典测量问题 67

3.1.2 高程测量问题 70

3.1.3 球面测量基本问题 73

3.2 等周问题 74

3.2.1 等周定理的发现 75

3.2.2 等周定理的证明 76

3.2.3 等周定理的应用 78

3.2.4 故事中的等周问题 79

3.3 最优柱体问题 81

3.3.1 最优柱体的形状与大小 81

3.3.2 最优柱体的制作 84

3.3.3 易拉罐的形状 86

3.4 费马点问题 88

3.4.1 一般费马点问题 88

3.4.2 特殊费马点问题 89

3.4.3 光最短路径问题 94

3.4.4 运输优化问题 95

3.4.5 米勒问题 97

3.5 镶嵌问题 99

3.5.1 平面均匀镶嵌 99

3.5.2 多边形平面镶嵌 101

3.5.3 空间中的镶嵌 102

3.5.4 足球的制作 104

思考与练习3 105

第4章 初等组合与概率统计模型 107

4.1 计数模型 107

4.1.1 排列组合问题 107

4.1.2 递归计数 110

4.1.3 错装信封问题 111

4.1.4 打包问题 114

4.2 称重问题 118

4.2.1 求砝码个数 118

4.2.2 称出假珍珠 119

4.3 几何概率问题 120

4.3.1 几何概率概述 121

4.3.2 游泳方向问题 122

4.4 数据建模 123

4.4.1 角定性数据建模 124

4.4.2 最小二乘法 125

4.4.3 容器中水的深度问题 127

4.5 常见统计思想方法 130

4.5.1 估计的基本思想 130

4.5.2 检验的基本思想 132

4.5.3 蒙特卡罗方法 134

4.5.4 聚类分析法 136

思考与练习4 139

第5章 初等数论模型 143

5.1 整除及其应用 143

5.1.1 整除概念 143

5.1.2 辗转相除法 144

5.2 不定方程及其应用 145

5.2.1 百钱百鸡问题 145

5.2.2 猴子分桃问题 146

5.2.3 砝码个数问题 149

5.2.4 正方分割问题 150

5.3 中国剩余定理及其应用 152

5.3.1 同余概念 152

5.3.2 物不知数 153

5.3.3 中国剩余定理 154

5.3.4 应用举例 157

5.4 连分数及其应用 158

5.4.1 连分数与渐近分数 158

5.4.2 连分数在天文学中的应用 160

5.4.3 连分数的三大奇妙之处 163

5.5 简单的密码问题 164

5.5.1 保密通信概述 164

5.5.2 仿射加密方法 165

5.5.3 公开密钥体制 167

思考与练习5 173

第6章 初等数学模型常用方法 175

6.1 比例分析法 175

6.1.1 面积估算问题 175

6.1.2 军事机密的泄露 176

6.1.3 云雾和人工降雨的奥秘 177

6.1.4 牙膏定价问题 178

6.2 图上优化法 180

6.2.1 七桥问题及其应用 180

6.2.2 旅行售货员问题 184

6.2.3 最小树模型 187

6.2.4 最短路模型 191

6.2.5 统筹方法 193

6.3 层次分析法 195

6.3.1 层次分析法的基本步骤 195

6.3.2 一致性检验 198

6.3.3 选择住宅问题 200

6.4 单因素优选法 203

6.4.1 黄金分割法 203

6.4.2 分数法 207

6.4.3 对分法 208

6.5 正交试验设计 209

6.5.1 正交设计表 210

6.5.2 正交试验设计的基本思想 211

思考与练习6 213

附录：部分思考与练习题答案 218

参考文献 225