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第一章 矩阵和向量 1

1.1 数据和矩阵 1

习题 5

1.2 矩阵的代数运算 6

习题 11

1.3 向量 13

1.3.1 向量的代数运算 13

1.3.2 向量的内积 14

1.3.3 向量的标准化 15

1.3.4 向量的夹角 16

习题 18

1.4 线性空间和线性变换 19

1.4.1 线性空间 19

1.4.2 线性变换 23

习题 27

1.5 矩阵的秩 29

习题 31

1.6 行列式 31

习题 35

1.7 逆矩阵和线性方程组 37

1.7.1 线性方程组的解 37

1.7.2 解线性方程组——高斯消去法 39

1.7.3 消去变换 41

1.7.4 伴随矩阵和克拉默法则 42

1.7.5 初等矩阵 43

1.7.6 行阶梯形矩阵 46

习题 48

1.8 分块矩阵 49

1.8.1 分块矩阵的代数运算 49

1.8.2 分块矩阵的逆 51

1.8.3 分块矩阵的应用——求行列式 52

1.8.4 分块矩阵在回归方程中的应用 53

习题 57

1.9 方阵的特征值和特征向量 58

习题 64

1.10 MATLAB介绍和它的一些指令 65

第二章 一些有用的方阵 73

2.1 置换阵 73

习题 75

2.2 正交阵 75

习题 79

2.3 三角阵 79

习题 81

2.4 对称阵 82

习题 86

2.5 二次型 86

2.5.1 二次型的定义 86

2.5.2 二次型的分类 88

习题 89

2.6 正定阵和非负定阵 90

2.6.1 定义和性质 90

2.6.2 正定阵的幂 91

2.6.3 相对特征值 93

2.6.4 二次型极值性质 94

习题 96

2.7 幂等阵和投影阵 97

2.7.1 向量对向量投影 97

2.7.2 向量在线性子空间投影 98

2.7.3 幂等阵和投影阵 99

习题 102

2.8 统计学中的一些矩阵 102

2.8.1 阿达马矩阵 102

2.8.2 拉丁方 104

2.8.3 正交拉丁方 107

2.8.4 正交表 108

习题 112

2.9 幻方 113

习题 115

2.10 本章需要的MATLAB的指令 115

第三章 矩阵的因子分解 117

3.1 引言 117

3.2 解线性方程时需要的分解 117

3.2.1 LU分解 118

3.2.2 楚列斯基分解 120

3.2.3 QR分解 121

习题 127

3.3 含有矩阵特征值和特征向量的分解 128

3.3.1 谱分解 128

3.3.2 舒尔分解 129

3.3.3 奇异值分解 130

3.3.4 一些其他的矩阵因子分解 131

习题 132

3.4 多个矩阵同时作因子分解 133

习题 135

3.5 本章需要的MATLAB的指令 136

第四章 近代发展的矩阵运算 139

4.1 广义逆 139

4.2 矩阵的拉直运算 143

4.2.1 一些记号 143

4.2.2 拉直运算 143

习题 145

4.3 克罗内克积 145

习题 147

4.4 拉直运算的性质 148

习题 152

4.5 对称阵和三角阵的拉直运算 152

4.5.1 对称阵的拉直运算 153

4.5.2 下三角阵的拉直运算 154

4.5.3 一些应用 156

4.6 本章需要的MATLAB的指令 156

第五章 矩阵函数的微商 158

5.1 引言 158

5.2 矩阵对标量的微商 158

习题 160

5.3 矩阵变量函数的微商 160

习题 162

5.4 向量函数的微商 162

习题 164

5.5 变换的雅可比 164

5.5.1 矩阵和向量的微分 165

5.5.2 多元变换的雅可比 167

习题 170

第六章 随机向量和矩阵 172

6.1 随机矩阵及其期望 172

习题 173

6.2 随机向量的协方差矩阵和相关矩阵 174

习题 176

6.3 随机向量二次型的期望值 177

习题 178

6.4 在回归分析中的应用 179

6.5 在多元统计分析中的应用 182

6.5.1 总体主成分 182

6.5.2 样本主成分 184

索引 186

参考文献 190