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第五篇 空间解析几何与向量代数 3

第七章 空间解析几何与向量代数 3

第一节 向量及其线性运算 3

一、向量概念 3

二、向量的线性运算 3

习题7-1 6

第二节 空间直角坐标系 向量的坐标 6

一、空间直角坐标系及向量的坐标表示 6

二、向量的模、方向余弦、投影 10

习题7-2 12

第三节 向量的乘法运算 13

一、两个向量的数量积 13

二、两个向量的向量积 15

三、三个向量的混合积 17

习题7-3 18

第四节 曲面及其方程 18

一、曲面的方程 18

二、柱面 19

三、旋转曲面 21

四、常见二次曲面 23

习题7-4 26

第五节 空间曲线及其方程 26

一、空间曲线的方程 27

二、空间曲线在坐标面上的投影 29

习题7-5 31

第六节 平面及其方程 31

一、平面的方程 31

二、两平面的位置关系 34

三、点到平面的距离 35

习题7-6 35

第七节 空间直线及其方程 36

一、直线的方程 36

二、直线与直线、直线与平面的位置关系 39

三、平面束 41

习题7-7 43

第五篇综合练习 45

第六篇 多元函数微分学 49

第八章 多元函数微分学 49

第一节 多元函数、极限与连续 49

一、预备知识 49

二、多元函数的基本概念 51

三、多元函数的极限 54

四、多元函数的连续性 55

习题8-1 57

第二节 偏导数 58

一、偏导数的概念与计算 58

二、高阶偏导数 60

习题8-2 62

第三节 全微分及其应用 62

一、全微分 63

二、二元函数的线性化 65

习题8-3 66

第四节 多元复合函数的求导法则 67

一、多元复合函数求偏导的链式法则 67

二、抽象复合函数求偏导 69

三、全微分形式不变性 70

习题8-4 71

第五节 隐函数的求导法则 72

一、一元隐函数存在定理和隐函数的求导公式 72

二、二元隐函数存在定理和隐函数的求导公式 73

习题8-5 74

第六节 多元函数微分学的几何应用 75

一、空间曲线的切线与法平面 75

二、空间曲面的切平面与法线 77

习题8-6 79

第七节 方向导数与梯度 79

一、方向导数 80

二、梯度 82

三、场的概念 84

习题8-7 85

第八节 多元函数的极值及其求法 85

一、极值、最大值和最小值 85

二、条件极值 拉格朗日乘数法 88

习题8-8 91

第六篇综合练习 92

第七篇 多元函数积分学 97

第九章 重积分 97

第一节 二重积分的概念与性质 97

一、二重积分的概念 97

二、二重积分的性质 100

习题9-1 102

第二节 二重积分的计算 103

一、利用直角坐标计算二重积分 103

二、利用极坐标计算二重积分 109

习题9-2 111

第三节 三重积分 112

一、三重积分的概念 112

二、利用直角坐标计算三重积分 113

三、利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 116

习题9-3 119

第四节 重积分的应用 120

一、几何应用 120

二、质量、质心、力矩、形心 122

三、转动惯量 125

四、汽车盘式制动器的有效制动半径 127

习题9-4 128

第十章 曲线积分与曲面积分 130

第一节 对弧长的曲线积分 130

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 130

二、对弧长的曲线积分的计算及其应用 131

习题10-1 135

第二节 对坐标的曲线积分 135

一、对坐标的曲线积分的概念 136

二、对坐标的曲线积分的计算 138

三、两类曲线积分的联系 140

习题10-2 141

第三节 格林公式及其应用 142

一、格林(Green)公式 142

二、曲线积分与路径无关 146

习题10-3 150

第四节 对面积的曲面积分 151

一、对面积的曲面积分的概念 151

二、对面积的曲面积分的计算及其应用 152

习题10-4 158

第五节 对坐标的曲面积分 159

一、对坐标的曲面积分的概念 159

二、对坐标的曲面积分的计算 162

习题10-5 165

第六节 高斯公式 通量与散度 165

一、高斯公式 166

二、沿任意闭曲面积分为零的条件 169

三、通量与散度 169

习题10-6 171

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 172

一、斯托克斯公式 172

二、空间曲线积分与路径无关的条件 175

三、环流量与旋度 176

习题10-7 178

第七篇综合练习 179

第八篇 无穷级数 185

第十一章 无穷级数 185

第一节 常数项级数的概念与性质 185

一、常数项级数的概念 185

二、无穷级数的基本性质 189

习题11-1 193

第二节 正项级数审敛法 193

一、正项级数基本定理 194

二、正项级数的审敛法则 194

习题11-2 201

第三节 一般常数项级数 202

一、交错级数及其审敛法 202

二、一般常数项级数的收敛性 绝对收敛与条件收敛 204

习题11-3 206

第四节 幂级数 206

一、函数项级数的一般概念 206

二、幂级数及其收敛性 208

三、幂级数的四则运算 212

四、幂级数的导数和积分 214

习题11-4 216

第五节 函数展开成幂级数 216

一、泰勒级数 216

二、函数展开成幂级数的方法 218

三、幂级数的应用 222

习题11-5 225

第六节 傅里叶级数 226

一、三角级数和三角函数系的正交性 226

二、周期为2π的函数展开成傅里叶级数 227

三、正弦级数与余弦级数 231

习题11-6 233

第七节 一般周期函数的傅里叶级数 233

习题11-7 237

第八篇综合练习 238

习题答案 240