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第1章 测度与维数 1

1.1测度论基础 1

1.2Hausdorff测度与Hausdorff维数 11

1.3Hausdorff容度与Hausdorff测度 25

1.4覆盖定理 27

1.5上（下）局部维数 30

1.6分形的例子 34

第2章 算子迭代与不动点 38

2.1压缩算子 38

2.1.1压缩算子的定义 38

2.1.2注记 39

2.2压缩算子的不动点定理 39

2.2.1几个经典的不动点定理 39

2.2.2（a，b，c，e，f）-压缩算子的不动点结果 40

第3章 Hutchinson迭代函数系统与自相似集 45

3.1分形空间 45

3.2Hutchinson迭代函数系统 49

3.2.1Hutchinson迭代函数系统与自相似集 50

3.2.2相似压缩函数系统与Rn中的自相似集 51

第4章 （L，M，N）-迭代函数系统与自相似集 53

4.1迭代函数系统与一个公开问题 53

4.2（L，M，N）-迭代函数系统与一个公开问题的回答 55

4.3由（L,M,N）-迭代函数系统导出的新迭代函数系统 60

4.3.1（L，0，L）迭代函数系统 60

4.3.2（L，0，N）迭代函数系统 61

4.3.3（0，0，N）迭代函数系统 62

第5章 自相似集的Hausdorff测度 64

5.1自相似集的Hausdorff维数和Hausdorff测度 65

5.2部分估计原理 66

5.3自相似集的质量分布原理 68

5.3.1几个引理 68

5.3.2自相似集的质量分布原理 70

5.3.3自相似集的Hausdorff测度的一个判据 72

5.4满足强分离开集条件的自相似集的Hausdorff测度 73

5.4.1几个引理 74

5.4.2等式Hs（E∩U）＝|U|s成立的充分条件 76

5.5自相似集的Hausdorff测度的计算 79

5.5.1计算直线上的自相似集的Hausdorff测度的准确值例子 79

5.5.2平面上的自相似集的Hausdorff测度的计算 90

5.6关于Koch曲线的Hausdorff测度的近似值的计算 92

5.6.1Koch曲线的Hausdorff测度 92

5.6.2关于Hs（K）的近似值的算法及其计算机实现 95

5.7关于自相似集的Hausdorff测度的公开问题及其研究 98

5.7.1关于自相似集的Hausdorff测度的公开问题 98

5.7.2最好覆盖的存在性不能蕴含自然覆盖是最好覆盖 100

5.7.3强分离的自相似集在相似压缩不动点的最好形状的存在性 100

第6章 自相似集的上凸密度 105

6.1s-集的一个覆盖性质 105

6.2自相似集的最好几乎处处覆盖的存在性 108

6.3自相似集的上凸密度与上球密度 112

6.3.1s-集的上凸密度与上球密度 112

6.3.2密度的基本性质 114

6.3.3s-集的上凸密度的等价定义 121

6.3.4自相似集的上凸密度 121

6.3.5估计自相似集的上凸密度的下限的方法 123

6.3.6自相似集的基本密度界 125

6.3.7相似压缩不动点处的上凸密度 126

6.3.8相似压缩不动点处的上凸密度的刻画 127

6.3.9相似压缩不动点处的上凸密度小于1的充分必要条件 127

6.3.10一些经典的自相似集的上凸密度的基本密度界 130

6.4一类由自相似集的上凸密度的值所构成的集合的基数 132

6.5估计自相似集的上凸密度的若干例子 134

6.6关于Sierpinski垫片的上凸密度的最小值的存在性 137

第7章 自相似集的相似压缩不动点 141

7.1相似压缩不动点的定义 141

7.2一类线性Cantor集的相似压缩不动点的刻画 142

7.3双Lipschitz等价的两均匀Cantor集相似压缩不动点坐标的关系 145

附录A 集合论和度量空间基础 151

A.1集合论基础 151

A.1.1集合 151

A.1.2集合的运算 151

A.1.3映射和集合的基数 153

A.1.4半序集与Zorn引理 154

A.2度量空间基础 155

A.2.1度量空间的基本概念 155

A.2.2稠密性与完备性 156

A.2.3列紧性与可分性 157

参考文献 163

索引 167