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第一章 预备知识——概率论精要 1

1.1 概率的公理化与概率空间 1

1.1.1 概率的公理化 1

1.1.2 概率空间举例 1

1.2 条件概率、独立性与概率计算 2

1.2.1 条件概率与独立性 2

1.2.2 概率的性质与计算 3

1.3 随机变量、分布函数与数字特征 5

1.3.1 随机变量 5

1.3.2 分布函数的性质 5

1.3.3 随机变量函数的分布函数与密度函数 7

1.3.4 数字特征 7

1.4 矩生成函数、特征函数与傅里叶变换 9

1.5 条件分布与条件期望 10

1.5.1 离散随机变量的条件期望 10

1.5.2 连续随机变量的条件期望 11

1.5.3 一般条件期望的定义及其性质 11

1.5.4 多个随机变量的条件期望 13

1.5.5 关于一般σ-域的条件期望 14

1.6 随机变量序列的收敛性 15

1.7 大数定律与中心极限定理 15

1.8 补充与注记 17

习题一 17

第二章 随机过程的基本概念 21

2.1 随机过程的直观背景和定义 21

2.2 随机过程的刻画 22

2.2.1 有限维分布函数族与随机过程的存在性 22

2.2.2 随机过程的数字特征 23

2.3 随机过程的分类和几个重要的随机过程 24

2.4 补充与注记 25

习题二 25

第三章 泊松过程 28

3.1 背景及定义 28

3.2 到达时间的分布 31

3.3 到达时间间隔服从指数分布的充要条件 35

3.4 泊松过程的极限定理 36

3.5 泊松过程的推广 37

3.5.1 复合泊松过程 37

3.5.2 条件泊松过程 39

3.5.3 非时齐泊松过程 39

3.5.4 空间泊松过程 40

3.5.5 更新过程 40

3.6 补充与注记 42

习题三 43

第四章 马尔可夫过程 46

4.1 离散时间参数马尔可夫链 46

4.1.1 离散时间参数马尔可夫链的定义 46

4.1.2 齐次马尔可夫链 48

4.1.3 齐次马尔可夫链状态的分类及性质 51

4.1.4 齐次马尔可夫链状态空间的分解 55

4.1.5 极限分布与平稳分布 58

4.1.6 fij与μij的求法 64

4.2 连续时间参数马尔可夫链 65

4.2.1 转移概率函数与转移速率矩阵 65

4.2.2 生灭过程 72

4.3 生灭过程在排队论中的应用 75

4.3.1 M/M/1损失制 76

4.3.2 M/M/n损失制 76

4.3.3 M/M/1等待制，顾客总体为无限源 77

4.3.4 M/M/1等待制，顾客总体为有限源 79

4.4 一般马尔可夫过程 81

4.5 补充与注记 83

习题四 85

第五章 鞅论 91

5.1 定义与举例 91

5.2 离散时间参数的上（下）鞅分解定理 95

5.3 鞅的停时定理 96

5.4 鞅收敛定理 98

5.5 鞅的尾部不等式 102

5.6 补充与注记 104

习题五 106

第六章 布朗运动 109

6.1 随机流动与布朗运动的定义 109

6.2 布朗运动的基本性质 110

6.2.1 布朗运动的联合密度函数 110

6.2.2 布朗运动与时齐马尔可夫过程 111

6.2.3 布朗运动与正态过程 112

6.2.4 布朗运动的σ-域流与鞅 113

6.3 反射原理与首达时的分布 114

6.4 布朗运动的轨道性质 115

6.5 反射布朗运动、漂移布朗运动和几何布朗运动 119

6.6 补充与注记 120

习题六 122

第七章 随机分析基础 124

7.1 L2空间和均方极限 124

7.1.1 L2空间 124

7.1.2 均方极限的性质 125

7.2 均方分析 127

7.2.1 均方连续性 128

7.2.2 均方可微性 129

7.2.3 均方可积性 131

7.3 伊藤积分 134

7.3.1 简单随机过程的随机积分 135

7.3.2 随机积分 138

7.3.3 一般的适应过程关于B的伊藤积分 143

7.3.4 随机积分过程的二次变差 145

7.4 伊藤过程与伊藤公式 147

7.5 伊藤随机微分方程 153

7.5.1 存在唯一性定理 153

7.5.2 线性随机微分方程的显示解 154

7.5.3 解的基本特性 157

7.6 金融应用 159

7.6.1 Girsanov定理与等价鞅测度 160

7.6.2 欧式期权定价 161

7.7 补充与注记 163

习题七 165

第八章 平稳过程 169

8.1 平稳过程的定义和性质 169

8.1.1 平稳过程的定义 169

8.1.2 平稳过程的简单性质 172

8.2 ARMA模型 173

8.3 平稳过程的谱分解定理 175

8.3.1 相关函数的谱分解定理 175

8.3.2 正交增量过程 176

8.3.3 平稳过程本身的谱分解定理 178

8.4 谱分解定理的应用 179

8.4.1 平稳过程的均方遍历性 179

8.4.2 采样定理 182

8.4.3 白噪声与ARMA（p，q）的谱分布 183

8.5 线性系统中的平稳过程 185

8.5.1 输入信号为确定性信号的情形 185

8.5.2 输入信号为平稳过程的情形 187

8.6 补充与注记 189

习题八 190

参考文献 194