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第六章 向量代数与空间解析几何 1

第一节 向量及其线性运算 1

一、向量概念 2

二、向量的线性运算 2

三、向量在轴上的投影 6

习题6-1 8

第二节 向量的坐标 9

一、空间直角坐标系 9

二、向量的坐标表示法 14

习题6-2 18

第三节 向量的乘积 19

一、两向量的数量积 19

二、两向量的向量积 22

三、三向量的混合积 25

习题6-3 27

第四节 平面与直线 28

一、平面及其方程 29

二、直线及其方程 35

习题6-4 40

第五节 空间曲面与空间曲线 42

一、空间曲面及其方程 42

二、空间曲线及其方程 56

习题6-5 62

第六节 Mathematica在空间解析几何中的应用 64

一、基本命令 64

二、实验举例 64

本章小结 68

总习题六 72

第七章 多元函数微分学及其应用 75

第一节 平面点集与多元函数 76

一、平面点集 76

二、n维空间 78

三、多元函数 80

习题7-1 83

第二节 多元函数的极限与连续性 83

一、二元函数极限 83

二、多元函数的连续性 86

习题7-2 88

第三节 全微分与偏导数 89

一、全微分定义 89

二、偏导数 91

三、高阶偏导数 98

四、全微分在近似计算中的应用 101

习题7-3 102

第四节 多元复合函数的微分法 104

一、复合函数的求导法则 105

二、复合函数的全微分 112

习题7-4 114

第五节 隐函数的微分法 115

一、一个方程的情形 115

二、方程组的情形 119

三、反函数组定理 122

习题7-5 124

第六节 方向导数与梯度 125

一、方向导数 126

二、梯度 130

习题7-6 132

第七节 微分法在几何上的应用 133

一、空间曲线的切线与法平面 133

二、空间曲面的切平面与法线 137

习题7-7 140

第八节 多元函数的极值 141

一、多元函数的极值与最值 141

二、条件极值和拉格朗日乘数法 147

习题7-8 153

第九节 二元函数的泰勒公式 154

一、二元函数的泰勒公式 154

二、二元函数极值的充分条件的证明 156

习题7-9 157

第十节 Mathematica在多元函数微分学中的应用 158

一、基本命令 158

二、实验举例 159

本章小结 162

总习题七 169

第八章 重积分 171

第一节 二重积分的概念及性质 171

一、二重积分的概念 172

二、二重积分的性质 175

习题8-1 177

第二节 二重积分的计算 178

一、直角坐标系下二重积分的计算 178

二、极坐标系下二重积分的计算 186

三、二重积分的一般变量代换 191

习题8-2 194

第三节 三重积分 198

一、三重积分的概念和性质 198

二、三重积分的计算 200

习题8-3 212

第四节 重积分的应用 215

一、曲面的面积 216

二、质心 220

三、转动惯量 222

四、引力问题 224

习题8-4 227

第五节 Mathematica在重积分中的应用 228

一、基本命令 228

二、实验举例 228

本章小结 229

总习题八 236

第九章 曲线积分与曲面积分 240

第一节 第一型曲线积分——对弧长的曲线积分 240

一、第一型曲线积分概念及性质 240

二、第一型曲线积分的计算 243

习题9-1 246

第二节 第一型曲面积分——对面积的曲面积分 247

一、第一型曲面积分概念及性质 247

二、第一型曲面积分的计算 248

习题9-2 252

第三节 第二型曲线积分——对坐标的曲线积分 253

一、第二型曲线积分概念及性质 253

二、第二型曲线积分的计算 256

习题9-3 262

第四节 格林公式及其应用 263

一、格林公式及相关概念 263

二、格林公式的一个物理原型 272

三、平面曲线积分与路径无关的条件 276

习题9-4 280

第五节 第二型曲面积分——对坐标的曲面积分 281

一、第二型曲面积分的概念与性质 281

二、第二型曲面积分的计算 285

习题9-5 289

第六节 高斯公式与斯托克斯公式 290

一、高斯公式 290

二、第二型曲面积分与曲面无关的条件 294

三、斯托克斯公式 295

四、空间曲线积分与路径无关的条件 298

习题9-6 299

第七节 场论初步 300

一、梯度 301

二、散度 302

三、旋度 304

四、微分算子 307

习题9-7 308

第八节 Mathematica在线面积分中的应用 309

本章小结 310

总习题九 319

第十章 常微分方程 322

第一节 微分方程的基本概念 322

一、微分方程问题举例 322

二、基本概念 326

习题10-1 328

第二节 可变量分离的微分方程 328

一、可变量分离的方程概念 328

二、可变量分离的方程的解法 329

三、可化为变量分离的方程 330

习题10-2 333

第三节 一阶线性微分方程与常数变易法 334

一、一阶线性方程 334

二、伯努利方程 337

习题10-3 338

第四节 全微分方程 339

一、全微分方程的概念 339

二、全微分方程的解法 340

习题10-4 344

第五节 某些特殊类型的高阶方程 345

一、形如y(n)=f（x）的方程 345

二、形如F（x,y(k),y(k+1),…,y(n)）=0的方程 346

三、形如F（y,y′,y″,…,y(n)）=0的方程 347

习题10-5 348

第六节 高阶线性微分方程 349

一、线性微分方程的一般理论 349

二、齐次线性方程通解的结构 350

三、非齐次线性方程解的结构 351

习题10-6 352

第七节 常系数线性微分方程 353

一、常系数齐次线性微分方程 353

二、常系数非齐次线性微分方程 356

习题10-7 359

第八节 常微分方程幂级数解法 360

习题10-8 362

第九节 Mathematica在微分方程中的应用 362

一、基本命令 362

二、实验举例 363

本章小结 367

总习题十 372

习题答案与提示 374

参考文献 393