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第1章 四元数分析基础 1

1.1四元数代数 1

1.1.1四元数及其运算 1

1.1.2四元数的矩阵形式 3

1.2四元数正则函数 4

1.2.1正则函数的概念 4

1.2.2正则函数的Cauchy积分定理 7

1.2.3正则函数的Cauchy积分公式 8

1.2.4正则函数的Poisson公式与正则函数的无穷次可微性 10

1.2.5正则函数的Liouville定理 11

1.2.6正则函数与调和函数的关系 12

1.2.7正则函数的唯一性定理 14

1.2.8正则函数的最大模原理 14

1.2.9 Morera定理 16

1.2.10正则函数列的Weierstrass定理 20

1.3 Cauchy型积分及其应用 22

1.3.1 Cauchy型积分的概念 22

1.3.2 Plemelj公式 22

1.3.3超球与双圆柱区域上的二元解析函数的边界值 25

1.4四元数空间中的TG算子与方程？zu＝f的分布解 30

1.4.1 TG算子的概念 30

1.4.2 TG属于Lp （1≤p＜4/3）的性质 30

1.4.3方程？zu＝f的分布解 32

1.4.4 TG f的Holder连续性 35

1.5n-正则函数与Tn算子 38

1.5.1n-正则函数的Cauchy积分公式 39

1.5.2n-正则函数与正则函数之间的关系 41

1.5.3 n-正则函数的Cauchy型积分 42

1.5.4 Tn算子及其性质 45

1.6单复变中某些相关结果 46

1.6.1单复变中的Tf算子 46

1.6.2单位圆上方程？/？zw=f的适合齐次边界条件的一重积分 48

1.6.3适合非齐次边界条件的解析函数 50

1.6.4单位圆上方程？/？zw＝f的Riemann-Hilbert边值问题 52

1.7第1章的注记：关于四元数分析与Clifford分析之间的关系 55

第2章 四元数分析中的级数 57

2.1由解析函数生成正则函数 57

2.2正则齐次多项式 61

2.3四元数正则函数的Taylor展式 65

2.4环形区域内正则函数的Laurent展式 71

2.4.1正则函数的Laurent展式 71

2.4.2正则函数的孤立奇点和留数定理 74

第3章Moisil-Theodoresc型方程及其边值问题 77

3.1正则向量函数 77

3.1.1正则向量函数的定义 77

3.1.2正则向量函数的Cauchy积分公式及其某些函数论性质 79

3.1.3 Cauchy型积分 81

3.2 T f算子与方程？u=f的分布解 85

3.2.1 T f算子及其性质 85

3.2.2 T f算子的Ho1der连续性 87

3.3n-正则向量函数与jTn算子 89

3.3.1 n-正则向量函数的定义及与正则向量函数的关系 89

3.3.2 n-正则向量函数的Cauchy积分公式 91

3.3.3 n正则向量函数的Cauchy型积分 93

3.3.4 Tn算子与方程？nu=f的解 96

3.4方程？F=f的Riemann-Hilbert边值问题 97

3.4.1问题RH的定义 97

3.4.2正则向量函数的问题RH 97

3.4.3非齐次方程？F = f的问题RH 100

3.5单位球上n阶方程？nF=f的Riemann-Hilbert边值问题 101

3.5.1问题的定义 101

3.5.2 B3上n-正则向量函数的问题RH和问题D 102

3.5.3 B3上方程？nF =f的问题RH和问题D 107

3.6正则向量函数与方程？u = f的Riemann边值问题 109

3.6.1正则向量函数的问题R与问题R 110

3.6.2非齐次方程？u=f的Riemann边值问题 116

3.7 n-正则向量函数与方程？nu =f的Riemann边值问题 117

3.7.1n-正则向量函数的问题R与问题R 118

3.7.2方程？nu＝f的问题R与问题R 121

第4章 四元数函数的一些边值问题 124

4.1 Riemann边值问题 124

4.1.1四元数正则函数与？zu =f的Riemann边值问题 124

4.1.2 n-正则四元函数与方程？？nzu=f的Riemann边值问题 126

4.2双圆柱区域P上四元数方程的Dirichlet边值问题 131

4.2.1双圆柱区域上的非齐次Cauchy-Riemann方程的Dirichlet边值问题 131

4.2.2双圆柱区域P上的四元数正则函数与方程？zu =f的Dirichlet问题 134

4.2.3四元数n-正则函数与方程?nzu=f的Dirichlet边值问题 137

第5章 双曲型方程的四元数分析方法 140

5.1双曲复方程的Riemann-Hilbert边界值问题 140

5.1.1可交换四元数代数及其矩阵形式 140

5.1.2 R3中一个双曲复方程的问题RH的定义 141

5.1.3一个二阶双曲复方程的边值问题 142

5.1.4方程（2）的问题RH 144

5.1.5非齐次方程Df=9的问题RH 147

5.1.6方程（i？/？z1＋j？/？z2）（f1 + kf2）=0的问题RH 150

5.2双曲复方程的特征边值问题 152

5.2.1方程（42）的特征边值问题 153

5.2.2拟线性方程（43）的特征边值问题 156

5.2.3方程（44）的特征边值问题 157

5.2.4最大模原理 159

5.3某些一阶双曲方程组的初边值问题 160

5.3.1关于方程？？=h的广义解及？？=0的边值问题 162

5.3.2方程Df =g的问题E 167

5.4 Maxwell方程的一个初边值问题 169

5.4.1关于方程（？/？te0＋？）（？+iφ）＝0的初边值问题 169

5.4.2 Maxwell方程的初边值问题 175

5.5 R3中两类一阶双曲方程组的初边值问题 179

第6章复Clifford分析 185

6.1 2n维的正则向量函数 185

6.1.1 2n维的正则向量函数的定义与Cauchy积分公式 185

6.1.2 Cauchy型积分及其应用 189

6.2复Clifford分析中的T算子 191

6.3复Clifford分析中k-正则向量函数及非齐次k阶 Cauchy-Riemann型方程 ？ku=f 194

6.3.1 k-正则向量函数 194

6.3.2非齐次k阶方程？ku=f的分布解 199

6.3.3在单复变函数论中的应用 200

参考文献 202