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第一章 误差的基本知识 1

1 误差的来源 1

2 近似数的误差估计 2

2.1 绝对误差与相对误差 2

2.2 估差公式与误差限 3

2.3 有效数字与误差估计 4

3 和、差、积、商的误差估计 8

3.1 和、差、积、商的绝对误差的估计 8

3.2 和、差、积、商的相对误差的估计 9

4 数值计算中要注意的几个问题 12

本章小结 14

习题一 14

第二章 线性代数方程组的数值解法 16

1 Gauss消去法 17

1.1 Gauss消去法的消元公式 17

1.2 Gauss消去法的回代公式 19

1.3 Gauss消去法的计算量 22

1.4 Gauss消去法的可行性定理 23

2 Gauss主元素消去法 24

2.1 选主元的必要性 24

2.2 主元的选法 26

3 LU分解法 29

3.1 不选主元的LU分解法 30

3.2 选主元的LU分解法 34

3.3 LU分解的存在与唯一性定理 36

4 特殊矩阵的三角分解法 37

4.1 Cholesky分解法 37

4.2 追赶法 42

4.3 带状矩阵的三角分解法 44

5 向量与矩阵的范数 47

5.1 向量的范数 47

5.2 矩阵的范数 49

6 Gauss消去法的误差分析 51

6.1 计算机上的舍入误差 51

6.2 方程组对舍入误差的敏感性 52

6.3 消元误差的估计 54

6.4 三角方程组解的误差估计 55

7 迭代法 55

7.1 Jacobi迭代法 56

7.2 Gauss-Seidei迭代法 59

7.3 松驰法 60

8 迭代法的收敛条件及误差估计 63

8.1 问题的引出 63

8.2 准备知识 64

8.3 迭代法的收敛定理 65

9 Housholder方法与矩阵的QR分解 67

9.1 H方法的基本思想 68

9.2 正交矩阵QT的计算 68

9.3 矩阵A及右端b的约化公式 72

10 矛盾方程组的近似解法 78

10.1 矩阵的奇异值分解 78

10.2 矛盾方程组的最小二乘解 80

10.3 广义逆矩阵与最小二乘解 81

11 解大型稀疏方程组的技巧问题 82

本章小结 84

习题二 85

第三章 函数逼近方法 88

1 Lagrange插值法 88

1.1 Lagrange插值多项式的构造 89

1.2 插值多项式的余项 94

2 Newton插值法 97

2.1 差商及其性质 98

2.2 Newton插值多项式 99

3 Hermite插值法 102

3.1 Hermite插值多项式的构造 102

3.2 Hermite插值余项 104

4 样条插值法 106

4.1 样条函数的概念 107

4.2 三次样条函数 108

5 二元函数分片插值法 113

5.1 问题的提出 113

5.2 矩形域上的分片插值问题 114

5.3 三角形域上的分片插值问题 120

6 曲线的拟合——最小二乘法 124

6.1 直线型函数的拟合 124

6.2 n次拟合多项式 126

6.3 双曲函数与指数函数的拟合 129

7 最佳平方逼近与广义多项式 131

7.1 最佳平方逼近 131

7.2 广义多项式 131

7.3 最佳平方逼近问题的一般形式 132

7.4 最佳平方逼近多项式的存在与唯一性 134

8 正交多项式与广义Fourier和 136

8.1 正交函数系 136

8.2 广义Fourier和 137

8.3 Toepler定理 138

9 函数的磨光 141

9.1 问题的提出 141

9.2 磨光函数及其应用 142

9.3 数据的平滑 147

10 快速Fourier变换（FFT） 150

10.1 问题的提出 150

10.2 快速Fourier变换（FFT） 154

本章小结 163

习题三 164

第四章 数值微分与数值积分 166

1 数值微分法 166

1.1 利用差商求数值微商 166

1.2 利用插值多项式求数值微商 168

2 数值积分法的三个基本问题 171

2.1 数值积分的必要性 171

2.2 数值积分法的三个基本问题 172

3 Newton-Cotes型求积公式 174

3.1 公式的一般形式 174

3.2 常用的Newton-Cotes公式 175

3.3 复化求积公式 179

3.4 区间逐次分半法 184

3.5 Romberg方法 187

4 Gauss型求积公式 192

4.1 问题的提出 192

4.2 常用的正交多项式 195

4.3 Gauss型求积公式的构造及其误差 197

4.4 常用的Gauss型求积公式 198

5 重积分的数值积分法简介 205

5.1 复化梯形公式 205

5.2 复化抛物形公式 205

5.3 Gauss型求积公式 206

本章小结 206

习题四 208

第五章 常微分方程的数值解法 210

1 解常微分方程初值问题的Euler方法 211

1.1 Euler方法 211

1.2 改进的Euler方法 212

2 Taylor展开法与截断误差 215

2.1 Taylor展开法 215

2.2 局部截断误差及其“阶” 216

3 Runge-Kutta方法 218

3.1 R-K方法的基本思想 219

3.2 N级R-K公式 219

3.3 标准4级4阶R-K公式 222

4 线性多步法 223

5 一阶微分方程组的解法 227

6 常微分方程边值问题的数值解法 229

本章小结 232

习题五 233

第六章 偏微分方程的差分解法 235

1 椭圆型方程的差分解法 235

1.1 差分方程的建立 235

1.2 边界条件的处理 239

1.3 差分格式的性质 244

2 抛物型方程的差分解法 247

2.1 一维抛物型方程的差分格式 247

2.2 差分格式的收敛性和稳定性 254

2.3 二维抛物型方程的差分格式 262

3 双曲型方程的差分解法 266

本章小结 269

习题六 271

第七章 微分方程的其他近代数值解法简介 273

1 一维问题的有限元法 273

1.1 单元剖分与构造基函数 274

1.2 单元刚度矩阵和单元荷载向量 276

1.3 总刚度矩阵和总荷载向量 277

1.4 有限元法的解题步骤 279

2 二维问题的有限元法 283

2.1 单元剖分 284

2.2 确定单元基函数 285

2.3 单元刚度矩阵与单元荷载向量 287

2.4 总体合成 291

2.5 有限元方程组 292

3 边界积分方程法 298

3.1 积分方程 299

3.2 边界积分方程 303

3.3 边界积分方程的离散化 305

4 积分守恒型方程的差分化——积分插值法 307

4.1 两点边值问题的差分化 308

4.2 热传导问题的差分化 310

4.3 三角网格上的差分格式 313

5 广义差分法 317

5.1 广义Galerkin方法 318

5.2 广义差分法 318

主要参考文献 327

人名索引 328