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第七章 多元函数微分学 1

第一节 多元函数 1

一、平面点集 1

二、多元函数的概念 3

三、多元函数的极限 6

四、多元函数的连续性 8

习题7-1 9

第二节 偏导数 10

一、偏导数的定义及其计算方法 10

二、高阶偏导数 14

习题7-2 17

第三节 全微分及其应用 18

一、全微分定义 19

二、全微分存在的条件 20

三、全微分在近似计算中的应用 25

习题7-3 26

第四节 多元复合函数的求导法则 27

一、多元复合函数求导的链式法则 27

二、复合函数的高阶偏导数 32

三、一阶全微分形式的不变性 33

习题7-4 35

第五节 隐函数求导法 36

一、一个方程的情形 36

二、方程组的情形 39

习题7-5 42

第六节 方向导数与梯度 44

一、方向导数 44

二、梯度 47

习题7-6 50

第七节 偏导数的几何应用 51

一、空间曲线的切线与法平面 51

二、曲面的切平面与法线 55

习题7-7 59

第八节 多元函数的极值 60

一、多元函数的极值 61

二、条件极值、拉格朗日乘数法 64

三、有界闭区域上函数的最值 69

习题7-8 72

第九节 二元函数的泰勒公式 73

一、二元函数的泰勒公式 73

二、极值充分条件的说明 76

习题7-9 77

总练习题七 77

第八章 重积分 79

第一节 二重积分的概念与性质 79

一、引例 79

二、二重积分的定义 81

三、二重积分的性质 83

习题8-1 84

第二节 二重积分的计算 85

一、在直角坐标系下计算二重积分 85

二、在极坐标系下计算二重积分 94

三、二重积分的换元法 98

习题8-2 100

第三节 三重积分的概念与计算 102

一、三重积分的概念 102

二、在直角坐标系下计算三重积分 103

三、在柱面坐标系下计算三重积分 108

四、在球面坐标系下计算三重积分 113

五、三重积分的换元法 116

习题8-3 117

第四节 重积分的应用 119

一、曲面面积的计算 119

二、重积分的统一定义 122

三、重积分的物理应用 122

习题8-4 127

总练习题八 128

第九章 曲线积分与曲面积分 130

第一节 对弧长的曲线积分 130

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 130

二、对弧长曲线积分的计算法 133

习题9-1 137

第二节 对坐标的曲线积分 137

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 137

二、对坐标的曲线积分的计算法 140

三、两类曲线积分的联系 146

习题9-2 147

第三节 格林公式及其应用 148

一、格林公式 148

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 154

三、二元函数的全微分求积 158

习题9-3 162

第四节 对面积的曲面积分 164

一、对面积曲面积分的概念与性质 164

二、第一型曲面积分的计算 165

习题9-4 170

第五节 对坐标的曲面积分 170

一、有向曲面 170

二、对坐标的曲面积分的概念与性质 171

三、对坐标的曲面积分的计算法 174

四、两类曲面积分的关系 179

习题9-5 181

第六节 高斯公式和斯托克斯公式 182

一、高斯公式 182

二、斯托克斯公式 186

习题9-6 191

第七节 场论初步 192

一、场的概念 192

二、数量场的等值面与梯度 192

三、向量场的通量与散度 193

四、向量场的环流量与旋度 195

五、保守场与势函数 197

习题9-7 198

总练习题九 198

第十章 微分方程 201

第一节 微分方程的基本概念 201

一、引例 201

二、微分方程的基本概念 202

习题10-1 204

第二节 可分离变量的微分方程 205

习题10-2 208

第三节 齐次方程 209

习题10-3 213

第四节 一阶线性微分方程 214

习题10-4 219

第五节 全微分方程 219

习题10-5 222

第六节 可降阶的高阶微分方程 222

一、y(n)=f（x）型 222

二、y″=f（x,y′）型 223

三、y″=f（y,y′）型 225

习题10-6 227

第七节 线性微分方程解的结构 228

习题10-7 231

第八节 二阶常系数齐次线性微分方程 231

习题10-8 236

第九节 二阶常系数非齐次线性微分方程 237

习题10-9 245

总练习题十 246

第十一章 无穷级数 248

第一节 常数项级数的概念和性质 248

一、引言 248

二、基本概念 249

三、基本性质 250

习题11-1 254

第二节 常数项级数的收敛性及其判别法 254

一、正项级数及其收敛判别法 255

二、交错级数及其收敛判别法 260

三、绝对收敛与条件收敛 262

习题11-2 263

第三节 幂级数的概念、性质与求和 264

一、函数项级数的一般概念 265

二、幂级数及其收敛半径 265

三、关于一致收敛的级数及其分析性质 270

四、幂级数的分析性质与幂级数的求和 274

习题11-3 276

第四节 函数展开成幂级数 277

一、f（x）的泰勒级数 277

二、f（x）展开成泰勒级数的条件 279

三、f（x）展开成泰勒级数的方法 280

四、幂级数展开式的应用举例 284

习题11-4 287

第五节 傅里叶级数 288

一、问题的提出 288

二、预备知识 289

三、傅里叶级数与傅里叶系数 290

四、傅里叶级数的收敛定理 292

五、正弦级数与余弦级数 298

习题11-5 299

第六节 一般周期函数的傅里叶级数 300

一、周期为2l的周期函数的傅里叶级数 300

二、傅里叶级数的复数形式 303

习题11-6 304

总练习题十一 305

习题答案与提示 307