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第1章 复数与复变函数 1

1.1复数及其代数运算 1

1.1.1复数的概念 1

1.1.2复数的代数运算 2

1.2复数的向量表示与三角表示 6

1.2.1复平面 6

1.2.2黎曼球面与扩充复平面 10

1.3复数的乘幂与方根 13

1.3.1乘积与商 13

1.3.2复数的乘方与开方 16

1.4复平面上的区域 19

1.4.1区域 19

1.4.2单连通区域和多连通区域 20

1.5复变函数 22

1.5.1复变函数的概念 22

1.5.2映射的概念 23

1.6复变函数的极限与连续性 26

1.6.1复变函数的极限 26

1.6.2复变函数的连续性 29

习题一 30

第2章 解析函数 35

2.1解析函数 35

2.1.1复变函数的导数与微分 35

2.1.2解析函数 38

2.2函数解析的充要条件 40

2.2解析函数与调和函数的关系 45

2.2.1调和函数的概念 45

2.2.2解析函数与调和函数的关系 45

2.3初等函数 49

2.3.1指数函数 49

2.3.2对数函数 50

2.3.3幂级数 51

2.3.4三角函数 52

2.3.5双曲函数 53

2.3.6反三角函数与反双曲函数 54

习题二 55

第3章 复变函数的积分 59

3.1复变函数积分的概念及性质 59

3.1.1复变函数积分的定义及其计算 60

3.1.2复变函数积分的性质 64

3.2柯西（Cauchy）积分定理 66

3.2.1柯西积分定理 66

3.2.2复合闭路定理 68

3.3复变函数的不定积分 70

3.4柯西积分公式 73

3.5解析函数的高阶导数 75

习题三 78

第4章 级数 82

4.1复数项级数 82

4.1.1复数列的极限 82

4.1.2复数项级数 84

4.2幂级数 87

4.2.1基本概念 87

4.2.2幂级数的收敛域结构 88

4.2.3幂级数的运算和性质 92

4.3泰勒（Taylor）级数 95

4.3.1泰勒定理 95

4.3.2初等函数的泰勒展开式 97

4.4罗朗（Laurent）级数 100

4.4.1罗朗级数及其收敛性 100

4.4.2解析函数的罗朗展开 101

习题四 107

第5章 留数及其应用 111

5.1孤立奇点 111

5.1.1孤立奇点的分类 111

5.1.2函数的零点与极点的关系 114

5.2留数 116

5.2.1留数概念与留数定理 116

5.2.2函数在奇点处的留数计算方法 118

5.2.3函数在无穷远点处的留数计算方法 121

5.3应用留数计算实积分 125

5.3.1形如∫2π0R（cosθ， sinθ） dθ的积分 125

5.3.2形如∫+∞-∞P（x）/Q（x）dx的积分 128

5.3.3形如∫+∞-∞P（x）/Q（x）eaix dx （a ＞ 0）的积分 129

习题五 132

第6章 共形映射 135

6.1共形映射的概念 135

6.1.1导数的几何意义 135

6.1.2共形映射 138

6.2分式线性映射 139

6.2.1分式线性映射的定义 139

6.2.2分式线性映射的分解 140

6.2.3分式线性映射的性质 142

6.2.4三类典型的分式线性映射 146

6.3几个初等函数所确定的映射 151

6.3.1幂函数w=zn（n≥2）确定的映射 151

6.3.2指数函数w=ez所确定的映射 154

习题六 157

第7章 傅里叶变换 159

7.1傅里叶积分 159

7.1.1周期函数的傅里叶级数 159

7.1.2非周期函数的傅里叶积分公式 161

7.2傅里叶变换 164

7.2.1傅里叶变换及傅里叶逆变换 164

7.2.2单位脉冲函数及其傅里叶变换 166

7.3傅里叶变换的性质 169

7.4卷积定理与相关函数 172

7.4.1卷积定理 172

7.4.2相关函数 174

7.5傅里叶变换的应用 175

7.5.1傅里叶变换在解微分、积分方程中的应用 175

7.5.2傅里叶变换在解数学物理方程中的应用 177

习题七 181

第8章 拉普拉斯变换 185

8.1拉普拉斯变换的概念 185

8.1.1拉普拉斯变换 185

8.1.2拉普拉斯变换的存在定理 186

8.1.3单位脉冲函数8（t）的拉氏变换 187

8.2拉氏变换的性质 189

8.3拉氏逆变换 197

8.4拉氏变换的应用 200

8.4.1常微分、积分方程或方程组的求解 200

8.4.2数学物理方程的求解 204

习题八 211

附录 216

附表1傅氏变换简表 216

附表2拉氏变换简表 221

参考文献 227