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序言 1

绪论 数学三次危机与数学基础 1

1 数学的第一次危机 1

2 非欧几何的诞生 4

3 数学的第二次危机 8

4 数学的第三次危机 12

5 数学基础的探讨 17

第一章 逻辑演算 20

1 命题演算 20

1.1 命题联结词、真值表与指派 20

1.2 命题演算的公理系统 33

1.3 命题演算的系统特征 44

2 狭义谓词演算(上) 47

2.1 谓词与函词 47

2.2 量词与摹状词(附递归词) 49

2.3 代入与替换 55

3.1 狭义谓词演算的公理系统 61

3 狭义谓词演算(下) 61

3.2 狭义谓词演算的可证公式 66

3.3 赋值、解释与指派 76

3.4 狭义谓词演算的系统特性 81

第二章 自然数论(算术) 89

1 自然数的皮亚诺公理系统 89

2 递归定义问题 106

3 算术的另一公理系统 109

4 递归函数 115

5 递归算术 122

第三章 数系的构造 135

1 正负整数 135

2 分数(有理数) 141

3 实数 146

4 复数 166

第四章 几何基础 171

1 《几何原本》简介 171

2 希尔伯特公理系统介绍 178

3 质点几何学简介 189

4 非欧几何 224

第五章 集合论简介 236

1 基本概念与公理 237

1.1 公理集合论公理系统 237

1.2 空集、对偶集与幺元集 239

2 集合代数及进一步性质 241

2.1 集合代数 241

2.2 ∩x 与 ∪x 243

2.3 幂集 245

2.4 卡氏积 246

3 对应、关系与函数 247

3.1 一般性质 247

3.2 多一对应及函数 250

3.3 关系的一些基本特性 251

3.4 次序关系 253

3.5 等价关系与分类 255

4 等数与基数算术 256

5 有穷集与无穷集 261

6 自然数 263

7 实数的构造 270

8 超穷基数与超穷序数 275

8.1 可数集与？？ 275

8.2 连续统与 c 277

8.3 超穷序数 278

第六章 抽象公理系统 280

1 二元运算，同构与同态 281

2 盒与群 286

3 准环及其加强 292

4 准格及其加强 296

5 模(矢量空间)与代数 301

6 用各种公理系统来刻画自然数集等系统 303

附录 形式系统的不完备性 311

1 哥德尔不完备性定理 311

2 元数学的算术化 320

参考文献 325

索引 328