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第一章 矢量代数 1

1.1 纯量与矢量 1

1.2 矢量的加法 3

1.3 矢量的纯量积 6

1.4 矢量的矢积 9

1.5 矢量的三重积 12

1.6 对偶基矢量 16

本章概要 17

习题 19

2.1 纯量自变量的矢函数 23

第二章 矢量分析 23

2.2 矢函数的微分法 25

2.3 矢函数的微分 31

2.4 矢函数的积分 31

2.5 纯量场的梯度 33

2.6 矢量场的散度 37

2.7 矢量场的旋度 39

2.8 关于梯度、散度、旋度的公式 40

2.9 梯度、散度、旋度定义的不变性 41

2.10 线积分与面积分 44

2.11 积分定理 51

本章概要 57

习题 59

第三章 矩阵 66

3.1 矩阵的加法与乘法 66

3.2 方阵的逆阵 70

3.3 转置矩阵 73

3.4 本征值与本征矢量 75

3.5 凯莱-哈密顿定理 83

3.6 极分解定理 86

本章概要 89

习题 92

4.1 引言 98

第四章 张量概念 98

4.2 N维空间与坐标变换 99

4.3 指标与排列符号 100

4.4 逆变矢量与协变矢量 103

4.5 不变量 108

4.6 二阶张量 108

4.7 高阶张量 110

本章概要 112

习题 113

第五章 张量代数 117

5.1 张量的加法、减法与乘法 117

5.2 缩并与内乘 119

5.3 商定律 120

5.4 度量张量 123

5.5 二阶共轭对称张量 125

5.6 两矢量间的夹角、正交性 127

5.7 指标的升降 128

5.8 张量的物理分量 129

5.9 排列张量 130

5.10 二阶张量的本征值与本征矢量 132

5.11 二阶张量的主方向与不变量 134

5.12 偏张量 138

本章概要 140

习题 143

第六章 张量分析 148

6.1 克里斯托菲符号 148

6.2 矢量的协变微分 152

6.3 张量的协变微分 156

6.4 协变微分法规则 159

6.5 不变微分算子 160

6.6 内禀微分 163

6.7 相对张量 165

本章概要 166

习题 169

第七章 黎曼空间的曲率 172

7.1 黎曼-克里斯托菲张量 172

7.2 曲率张量 173

7.3 彭启(Binanchi)恒等式 175

7.4 吕奇(Ricci)张量与曲率不变量 175

7.5 爱因斯坦张量·黎曼曲率 177

7.6 平坦空间 179

7.7 常曲率空间 180

7.8 测地线与测地坐标 181

7.9 矢量的平行性 186

本章概要 188

习题 191

附录A 75条例题 193

附录B 正规正交化 234

附录C 曲线坐标系 237

1 正交曲线坐标系 237

2 单位矢量、弧元与体积元 238

3 梯度、散度与旋度 239

4 常用的几种正交曲线坐标系 240

习题 243

张量分析及演算习题全解 245

参考文献 251