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第一章 函数 1

1 实数概述 1

一 实数的主要特征 1

二 绝对值不等式、邻域、空心邻域 2

练习1.1 4

2 函数概念 4

一 函数的概念 4

二 基本初等函数 7

练习1.2 12

一 单调函数 14

3 几种特殊类型的函数 14

二 奇函数与偶函数 15

三 周期函数 15

四 有界函数 17

练习1.3 18

4 函数的运算 20

一 四则运算 20

二 反函数 21

三 复合函数 23

练习14 24

习题一 25

1 数列极限的概念 28

一 极限思想 28

第二章 极限 28

二 数列｛(n-1)/n｝的极限 29

二 数列极限定义 31

练习2.1 35

2 收敛数列的性质 36

练习2.2 41

3 数列的收敛判别法 42

练习2.3 48

4 函数极限 49

一 函数极限概念 49

二 函数极限的定理 59

三 函数极限存在的判定 63

练习2.4 66

5 两个重要的极限 67

一 lim(x→0)sinx/x＝1 67

二 lim(x→∞)(1＋1/x)x＝e 70

练习2.5 72

6 无穷小量与无穷大量 73

一 无穷小量 73

二 无穷大量 74

三 无穷小量阶的比较 76

练习2.6 79

习题二 80

一 函数在一点的连续性 83

1 函数的连续性概念 83

第三章 函数的连续性 83

二 间断点及其分类 88

三 区间上的连续函数 90

练习3.1 93

2 连续函数的性质 95

一 连续函数的局部性质 95

二 连续函数的运算性质 95

三 区间上连续函数的基本性质 98

四 一致连续性 100

练习3.2 104

3 初等函数的连续性 106

习题三 108

练习题3.3 108

第四章 导数与微分 110

1 导数概念 110

一 两个典型问题 110

二 导数的定义 112

三 单侧导数 116

四 导数的几何意义 118

五 可导性与连续性的关系 119

练习4.1 120

2 求导法则 122

一 导数的四则运算 122

二 反函数的导数 126

三 复合函数的导数 128

四 基本求导法则与公式 134

五 隐函数求导法 135

六 参数方程表示的函数的求导法 138

练习4.2 143

3 微分 146

一 微分概念 146

二 微分与导数的关系 147

三 微分的几何意义 148

四 微分运算法则 149

练习4.3 154

4 高阶导数与高阶微分 155

一 高阶导数 156

二 莱布尼茨公式 158

三 高阶微分 161

四 其他函数关系的高阶导数 163

练习4.4 166

习题四 168

第五章 中值定理与导数的应用 172

1 微分学基本定理 172

一 费尔马定理 172

二 中值定理 175

三 例 181

练习5.1 183

一 0/0型未定型的极限 185

2 洛比达法则 185

二 ∞/∞型未定型的极限 189

三 其它未定型的极限 191

练习 5.2 193

3 泰勒公式 194

一 泰勒定理 194

二 几个常用函数的麦克劳林公式 199

三 函数的近似计算 200

练习5.3 202

4 函数的单调性与极值 202

一 函数单调性的判别法 202

二 极值的判别法 206

三 最大值与最小值的求法 209

练习5.4 213

5 函数图象的讨论 214

一 曲线的凹凸性与拐点 214

二 曲线的渐近线 216

三 函数图象的讨论 219

练习5.5 223

6 方程的近似解 224

练习5.6 227

习题五 227

五 聚点定理 227

一 闭区间套定理 229

1 实数基本定理 229

第六章 实数基本定理 229

二 确界存在定理 231

三 柯西收敛准则 234

四 有限复盖定理 236

六 收敛子列存在定理 238

2 闭区间上连续函数基本性质定理的证明 238

习题六 244

第七章 不定积分 246

1 不定积分的概念及运算法则 246

一 原函数与不定积分的定义 246

二 不定积分的基本公式 248

三 不定积分的运算法则 250

练习7.1 252

2 不定积分的计算 253

一 换元积分法 253

二 分部积分法 261

练习7.2 266

3 有理函数和可化为有理函数的积分 268

一 有理函数积分法 268

二 三角函数有理式 ∫R(sinx,cosz)dx 型的积分 274

三 形如 ∫R(X,？ax＋b/cx＋d)dx 的积分 277

四 形如 ？R(X,？ax2＋bx＋c)dx 的积分 278

练习7.3 281

习题七 282

第八章 定积分 284

1 定积分的概念 284

一 问题的提出 284

二 定积分的概念 288

练习8.1 291

2 定积分的性质 292

一 可积条件与可积函数类 292

二 定积分的基本性质 293

练习8.2 303

3 定积分的计算 304

一 微积分学基本定理 304

二 换元积分法与分部积分法 308

练习8.3 316

4 定积分的近似计算 318

一 矩形法 318

二 梯形法 319

三 抛物线法 321

练习8.4 325

5 可积条件 326

一 可积的必要条件 326

二 大和与小和 328

三 可积的充要条件 331

四 可积函数类 334

练习8.5 337

习题八 338

第九章 定积分的应用 340

1 平面图形的面积、微元法 340

一 平面图形的面积 340

练习9.1 345

2 已知截面面积函数的立体体积 345

一 微元法 345

二 已知平行截面面积函数的立体体积 346

三 旋转体的体积 348

练习9.2 350

3 曲线的弧长、旋转体的侧面积 350

一 曲线的弧长 350

二 旋转体的侧面积 356

练习9.3 359

4 定积分在物理上的应用 359

一 水压力 359

二 平均值 360

三 平面图形的重心 362

练习9.4 364

5 几个简单的一阶微分方程 364

一 微分方程 364

二 可分离变量的微分方程 366

三 一阶线性微分方程 368

练习9.5 370

习题九 370