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第一章 度量空间 1

1.1 度量空间的概念 1

1.2 度量空间中的拓扑 7

1.3 度量空间的完备化 12

1.4 紧性 17

1.5 压缩映射原理 24

第二章 赋范线性空间 33

2.1 线性空间 33

2.2 赋范线性空间 35

2.3 有限维空间 46

2.4 有界线性算子 51

2.5 有界线性泛函与共轭空间 58

第三章 内积空间 68

3.1 内积空间的一般概念 68

3.2 内积空间中的直交集 74

3.3 投影定理 85

3.4 共轭空间 92

第四章 关于 Banach 空间的基本定理 99

4.1 Hahn-Banach 定理 99

4.2 Hahn-Banach 定理的应用 104

4.3 共鸣定理 109

4.4 开映射定理 116

4.5 弱收敛 126

第五章 有界线性算子的谱理论 128

5.1 伴随算子 128

5.2 有界线性算子的谱 134

5.3 紧算子 147

5.4 紧算子的 Riesz-Schauder 理论 152

5.5 自伴算子的谱的性质 161

5.6 正算子 166

5.7 投影算子 170

5.8 自伴算子的谱分解定理 174

5.9 自伴算子的函数演算 181

第六章 在 Hilbert 空间中的无界线性算子 193

6.1 线性算子的概念 193

6.2 无界线性算子的伴随算子 195

6.3 对称算子与自伴算子 201

6.4 酉算子 206

6.5 自伴算子的谱分解定理 211

6.6 无界自伴算子谱的性质 216

6.7 乘法算子与微分算子 218

附录Ⅰ 集合 224

附录Ⅱ 勒贝格测度与勒贝格积分 232

参考文献 242