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第四章 解析函数与平面场 1

1 复数 1

2 复变函数 5

一、区域 5

二、复变函数 6

三、复变函数的极限和连续性 7

四、初等函数 8

一、解析函数的定义 13

3 解析函数 13

二、函数解析的必要与充分条件 15

三、共轭调和函数 20

4 复变函数的积分 23

一、复变函数的积分 23

二、柯西定理 26

三、柯西公式 32

四、解析函数的求导公式 35

5 复位与复场强 41

一、复磁位和复电位的概念 42

二、已知复位，分析场及场源的特点 44

三、已知场源，计算它所激发的场的复位 45

6 平面场的狄利克莱问题 58

一、圆内狄利克莱问题 58

二、上半平面狄利克莱问题 61

三、曲线半平面的柯西积分公式 66

[附录]索霍茨基公式 71

7 级数 75

一、级数的一般理论 75

二、泰勒级数 79

三、复磁场强度的泰勒展开 84

四、罗朗级数 88

五、复磁场强度的罗朗展开 94

8 留数 106

一、零点 106

二、奇点 107

三、留数的概念 110

四、留数定理 111

五、留数的计算 112

六、应用留数定理计算定积分 115

七、应用留数定理推导校正正常场和计算磁矩的公式 122

9 保角映射 128

一、映射 128

二、保角映射 130

三、调和性的保持 132

四、将边界复杂的狄利克莱问题化为边界较为简单的狄利克莱问题 133

五、分式线性映射 135

六、幂函数映射 145

七、由分式线性映射、幂函数映射，指数函数映射复合而成的映射(举例) 149

八、多角形映射 160

第五章 傅里叶分析 172

1 谐波 172

2 傅里叶级数 174

一、三角函数族的正交性 174

二、将周期函数展成傅里叶级数 176

三、周期函数的离散谱 188

四、周期函数的平均功率 191

五、吉布斯现象 193

六、实用谐量分析法 196

一、傅里叶积分 202

3 傅里叶积分 202

二、非周期函数的连续谱 206

4 傅里叶变换 207

一、傅里叶变换 207

二、傅里叶变换的基本性质 215

三、非周期函数的能量谱密度和平均功率谱密度 226

5 褶积 232

一、褶积的定义 232

二、褶积的基本性质 236

三、褶积定理 237

6 相关 248

一、相关函数 248

二、相关定理 249

三、相关函数与能量谱密度 251

7 有限傅里叶级数 255

一、三角函数族的离散正交性 255

二、有限傅里叶级数 258

8 离散傅里叶变换 262

9 快速傅里叶变换 269

10 离散褶积 275

11 限带函数和抽样定理 278

一、限带函数的一般表示式 279

二、抽样定理 281

12 二维傅里叶分析 286

一、二维傅里叶级数 286

二、二维傅里叶变换 291

三、能量谱密度和平均功率谱密度 292

四、二维褶积 294

五、二维相关 295

六、二维有限傅里叶级数 296

七、二维离散傅里叶变换 299

八、二维离散褶积 301

九、二维抽样定理 302

[附录]作为广义函数的δ函数 303

一、广义函数的概念 304

二、广义函数的运算 305

三、广义极限 310

1 伽马函数 315

一、伽马函数的定义 315

第六章 特殊函数 315

二、伽马函数的基本性质 316

三、伽马函数定义域的推广 317

四、B函数 319

五、应用举例 320

2 勒让德函数 322

A.勒让德多项式 323

一、勒让德多项式 323

二、勒让德多项式的正交性 325

三、勒让德多项式的递推公式 331

四、勒让德多项式的母函数 334

五、勒让德方程的通解 338

B.连带勒让德函数 340

六、连带勒让德方程的通解 340

七、Pmn(x)的正交性 344

C.球函数 346

八、球函数的定义 346

九、球函数的正交性 346

十、应用举例 349

A.贝塞耳方程的解 354

一、ν不为整数(包括零)和半奇数时贝塞耳方程的通解 354

3 贝塞耳函数 354

二、ν为零或整数时贝塞耳方程的通解 358

三、ν为半奇数时贝塞耳方程的通解 361

四、一般情况下贝塞耳方程的通解(小结) 363

五、虚宗量贝塞耳方程的通解 363

B.贝塞耳函数的基本性质 367

六、贝塞耳函数的母函数 367

七、贝塞耳函数之间的关系 368

八、贝塞耳函数的积分表示式 372

九、含贝塞耳函数的定积分 374

十、贝塞耳函数的近似公式 376

十一、贝塞耳函数的正交性 378

十二、应用举例 382

4 拉梅函数 394

一、椭球坐标 394

二、拉梅函数 398

1.二维情况 405

A.直角坐标系 405

一、一般原理 405

第七章 拉普拉斯方程 405

1 分离变量法 405

2.三维情况 408

二、释例 410

B.球坐标系 416

三、一般原理 416

四、释例 420

C.柱坐标系 446

五、一般原理 446

六、释例 449

七、一般原理 485

D.椭球坐标系 485

八、释例 487

2 镜象法 505

3 格林函数法 521

一、调和函数的积分表示式 522

二、调和函数的基本性质 525

三、两类边值问题 528

四、拉氏方程第一边值问题的格林函数 531

五、拉氏方程第二边值问题的格林函数 546

习题答案 555